Question

Найти подстановкой

Answer 1

$3x+1=t\\ 3dx=dt \\ \int\limits^1_0 {\dfrac{dt}{3t^4}} = |^{1}_{0} \ -\frac{1}{9} \cdot t^{-3} = \frac{-1}{9t^3} = |^{1}_{0} = - \frac{1}{9(3x+1)^3} = -\frac{1}{576} + \frac{1}{9} = \frac{7}{64}$

Answer 2

Подстановка в математике

Подстановка - это процесс замены переменных в математическом выражении определенными значениями. Подстановка позволяет вычислить значение выражения при заданных значениях переменных.

Например, рассмотрим уравнение \(y = 3x + 2\) и подставим \(x = 5\). Чтобы найти значение \(y\) при \(x = 5\), мы заменяем \(x\) на \(5\) в уравнении и вычисляем:

\(y = 3 \cdot 5 + 2 = 15 + 2 = 17\)

Таким образом, при \(x = 5\) значение \(y\) равно \(17\).

Примеры подстановки

В математике подстановка может быть использована для решения уравнений, проверки истинности утверждений и других задач. Вот несколько примеров:

Пример 1: Подстановка в квадратное уравнение

Рассмотрим квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\). Чтобы найти значения \(x\), мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и затем подставить значения в формулу.

Например, рассмотрим уравнение \(2x^2 + 3x - 5 = 0\). Мы можем вычислить дискриминант:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\)

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня. Мы можем использовать формулу подстановки, чтобы найти значения \(x\):

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5\)

Таким образом, корни уравнения \(2x^2 + 3x - 5 = 0\) равны \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2.5\).

Пример 2: Подстановка в уравнение с неизвестными

Рассмотрим уравнение \(5 + 8 = 12\). Чтобы проверить, является ли это уравнение истинным, мы можем подставить значения и вычислить:

\(5 + 8 = 12\)

\(13 = 12\)

Так как полученное утверждение неверно, мы можем сделать вывод, что исходное уравнение неверно.

Пример 3: Подстановка в функцию

Подстановка также может быть использована для вычисления значений функций при заданных аргументах. Например, рассмотрим функцию \(f(x) = x^3 + \exp(\cos(x))\). Чтобы найти значение функции при \(x = \pi\), мы подставляем \(x = \pi\) в функцию и вычисляем:

\(f(\pi) = \pi^3 + \exp(\cos(\pi))\)

\(f(\pi) = \pi^3 + \exp(-1)\)

Таким образом, значение функции \(f(\pi)\) при \(x = \pi\) зависит от значения числа \(\pi\) и экспоненты \(\exp(-1)\).

Заключение

Подстановка - это важный инструмент в математике, который позволяет заменить переменные в выражениях и функциях определенными значениями. Она используется для решения уравнений, проверки истинности утверждений и вычисления значений функций.