Question

Осьовий переріз циліндра прямокутник діагональ якого дорівнює 4корінь з три см і утворює з основою кут тридцять градусів . обчислити обєм циліндра

Answer 1

Смотри рисунок
_________________

Answer 2

Для вирішення цієї задачі спочатку важливо зрозуміти основні властивості циліндра та його осьового перерізу. Осьовий переріз циліндра, описаний вами, є прямокутником з діагоналлю, яка дорівнює \(4\sqrt{3}\) см, і кутом, утвореним основою циліндра, який дорівнює \(30^\circ\).

Обозначимо сторони прямокутника через \(a\) і \(b\), а діагональ - через \(d\). За теоремою Піфагора маємо:

\[d^2 = a^2 + b^2\]

У нашому випадку \(d = 4\sqrt{3}\) см, тому:

\[(4\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2\]

\[48 = a^2 + b^2\]

Також, ви зазначили, що кут між діагоналлю і однією зі сторін прямокутника дорівнює \(30^\circ\). Ми можемо скористатися тангенсом кута:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{b}{a} \]

Але, оскільки \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), ми можемо записати:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \]

Звідси маємо \(b = \frac{a}{\sqrt{3}}\).

Тепер можна використовувати ці вирази для знаходження об'єму циліндра. Об'єм циліндра визначається формулою \(V = \pi r^2 h\), де \(r\) - радіус основи, а \(h\) - висота.

Оскільки осьовий переріз є прямокутником, візьмемо сторону \(a\) як діаметр основи циліндра. Таким чином, \(r = \frac{a}{2}\).

Далі, потрібно знайти висоту циліндра. Висоту можна знайти, використовуючи те, що \(h\) - відстань між протилежними сторонами прямокутника, тобто \(h = b\).

Тепер можемо записати вираз для об'єму циліндра:

\[ V = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} \]

\[ V = \frac{\pi a^3}{12\sqrt{3}} \]

Знаючи вираз для об'єму, можна підставити значення \(a\), яке ми знайшли раніше:

\[ V = \frac{\pi \cdot (4\sqrt{3})^3}{12\sqrt{3}} \]

\[ V = \frac{\pi \cdot 192}{12\sqrt{3}} \]

\[ V = \frac{16\pi}{\sqrt{3}} \]

Отже, об'єм циліндра, описаного вами осьовим перерізом, дорівнює \(\frac{16\pi}{\sqrt{3}}\) кубічних сантиметрів.