Question

Y=lnx-arctgx исследовать функцию. Помогите пожалуйста

Answer 1

((((((((((((((((((((((

Answer 2

Исследование функции Y = ln(x) - arctan(x)

Для исследования функции Y = ln(x) - arctan(x), мы можем рассмотреть различные аспекты, такие как область определения, область значений, асимптоты, экстремумы и поведение функции на интервалах.

Область определения: Функция ln(x) определена только для положительных значений x, поэтому область определения функции Y = ln(x) - arctan(x) будет положительными числами, то есть x > 0.

Область значений: Для определения области значений функции Y = ln(x) - arctan(x), мы можем рассмотреть пределы функции при x, стремящемся к положительной бесконечности и отрицательной бесконечности. При x, стремящемся к положительной бесконечности, функция ln(x) будет стремиться к положительной бесконечности, а функция arctan(x) будет стремиться к π/2. Таким образом, область значений функции Y будет (-∞, +∞).

Асимптоты: Функция Y = ln(x) - arctan(x) не имеет вертикальных асимптот, так как область определения функции ограничена положительными значениями x. Однако, у нее есть горизонтальная асимптота при y = -π/2, так как arctan(x) стремится к π/2 при x, стремящемся к положительной бесконечности.

Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции Y = ln(x) - arctan(x), мы можем взять производную функции и найти точки, где производная равна нулю. Затем, мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом или точкой перегиба.

Производная функции Y = ln(x) - arctan(x) равна: Y' = 1/x - 1/(1+x^2)

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, мы должны решить уравнение: 1/x - 1/(1+x^2) = 0

Решив это уравнение, мы найдем точку x = 1. Подставив эту точку во вторую производную, мы можем определить, что это точка минимума функции.

Поведение функции на интервалах: На интервале (0, 1) функция Y = ln(x) - arctan(x) будет убывать, так как производная отрицательна на этом интервале. На интервале (1, +∞) функция будет возрастать, так как производная положительна на этом интервале.

Выводы:

- Область определения функции Y = ln(x) - arctan(x) - положительные числа (x > 0). - Область значений функции Y = ln(x) - arctan(x) - (-∞, +∞). - У функции есть горизонтальная асимптота при y = -π/2. - Функция имеет точку минимума при x = 1. - На интервале (0, 1) функция убывает, на интервале (1, +∞) функция возрастает.

Надеюсь, эта информация поможет вам лучше понять исследование функции Y = ln(x) - arctan(x). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!