Question

Помогите решить 8sin^2x - 14cosx+1=0 Или 2sin^2x+9sinxcosx+9cos^2x=0

Answer 1

8(1-cos^2x)-14cosx+1=0
-8cos^2x-14cosx+9=0(домножим на -1)
8cos^2x+14cosx-9=0
cosx=t, тогда
8t^2+14t-9=0
D=196-4*8*(-9)=484
t1=(-14+22)/16=1/2
t2=(-14-22)/16=-36/16

cos x =1/2                                      cosx=-36/16(реш. нет -1<=cosx<=1)
x=+pi/3+2pik
x=-pi/3+2pik

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте посмотрим на уравнения по очереди.

Первое уравнение: \(8\sin^2(x) - 14\cos(x) + 1 = 0\).

Для начала, воспользуемся тригонометрическими идентичностями для замены \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\):

\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\).

Теперь подставим это в первое уравнение:

\(8(1 - \cos^2(x)) - 14\cos(x) + 1 = 0\).

Раскроем скобки:

\(8 - 8\cos^2(x) - 14\cos(x) + 1 = 0\).

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(\cos(x)\):

\(8\cos^2(x) + 14\cos(x) - 9 = 0\).

Теперь используем квадратное уравнение: \(ax^2 + bx + c = 0\). Мы можем использовать дискриминант (\(D\)) для нахождения решений:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 14^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 196 + 288 = 484\]

Теперь найдем \(\cos(x)\) с помощью дискриминанта:

\(\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(\cos(x) = \frac{-14 \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 8}\)

\(\cos(x) = \frac{-14 \pm 22}{16}\)

Таким образом, получаем два возможных значения для \(\cos(x)\):

1. \(\cos(x) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\). 2. \(\cos(x) = \frac{-36}{16} = -\frac{9}{4}\) (однако, это значение не попадает в интервал [-1, 1]).

Теперь, найдем соответствующие значения для \(\sin(x)\) используя тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\):

1. Для \(\cos(x) = \frac{1}{2}\): \(\sin^2(x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), значит \(\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). 2. Для \(\cos(x) = -\frac{9}{4}\): так как это значение не попадает в интервал [-1, 1], мы не можем найти соответствующее значение для \(\sin(x)\).

Таким образом, у нас есть две пары значений:

1. \( \cos(x) = \frac{1}{2} \), \( \sin(x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \). 2. \( \cos(x) = -\frac{9}{4} \) (значение не в интервале [-1, 1]), и для этого случая не существует решения.

Теперь давайте перейдем ко второму уравнению: \(2\sin^2(x) + 9\sin(x)\cos(x) + 9\cos^2(x) = 0\).

Мы можем заменить \(\sin^2(x)\) и \(\cos^2(x)\) используя те же тригонометрические тождества, что и раньше:

\(2(1 - \cos^2(x)) + 9\sin(x)\cos(x) + 9\cos^2(x) = 0\).

Раскроем скобки:

\(2 - 2\cos^2(x) + 9\sin(x)\cos(x) + 9\cos^2(x) = 0\).

Подставим \(\cos^2(x) = \frac{1}{4}\) (из первого уравнения, где \(\cos(x) = \frac{1}{2}\)):

\(2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 9\sin(x)\cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{4} = 0\).

\(2 - \frac{1}{2} + \frac{9}{2}\sin(x) + \frac{9}{4} = 0\).

Упростим:

\(\frac{3}{2} + \frac{9}{2}\sin(x) = 0\).

\(\frac{9}{2}\sin(x) = -\frac{3}{2}\).

\(\sin(x) = -\frac{3}{18} = -\frac{1}{6}\).

Таким образом, мы получаем \(\sin(x) = -\frac{1}{6}\) при \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) из первого уравнения.

Пожалуйста, проверьте вычисления, возможно я допустил ошибку.