Question

Высота прямоугольного треугольника,опущенная на гипотенузу равна 3,а длины катетов относятся как 9:2 .Найти площадь треугольника 5,3125

Answer 1

Пишите, если что не так.

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов как \(9x\) и \(2x\), где \(x\) - некоторый коэффициент пропорциональности. Таким образом, мы имеем:

Длина первого катета: \(9x\) Длина второго катета: \(2x\)

Высота, опущенная на гипотенузу, разбивает исходный прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. По теореме о подобных треугольниках, отношение высоты к гипотенузе в каждом из них равно отношению катета к гипотенузе.

Таким образом, у нас есть следующие отношения:

\[\frac{9x}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{высота}}{3}\]

\[\frac{2x}{\text{гипотенуза}} = \frac{\text{высота}}{3}\]

Из этих уравнений можно найти выражение для гипотенузы:

\[9x = \frac{\text{высота}}{3} \times \text{гипотенуза}\] \[2x = \frac{\text{высота}}{3} \times \text{гипотенуза}\]

Сложим эти два уравнения:

\[9x + 2x = \frac{\text{высота}}{3} \times \text{гипотенуза} + \frac{\text{высота}}{3} \times \text{гипотенуза}\]

\[11x = \frac{2}{3} \times \text{высота} \times \text{гипотенуза}\]

Теперь у нас есть выражение для гипотенузы в терминах высоты:

\[\text{гипотенуза} = \frac{11x}{2/3 \times \text{высота}}\]

Мы также знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин катетов. Поэтому:

\[S = \frac{1}{2} \times 9x \times 2x = 9x^2\]

Теперь мы можем выразить \(x\) через высоту:

\[S = 9x^2 = 9\left(\frac{2}{3 \times \text{высота}} \times \text{гипотенуза}\right)^2\]

Подставим значение для гипотенузы:

\[S = 9\left(\frac{2}{3 \times \text{высота}} \times \frac{11x}{2/3 \times \text{высота}}\right)^2\]

Упростим:

\[S = 9\left(\frac{2 \times 11x}{\text{высота}}\right)^2\]

\[S = 9\left(\frac{22x}{\text{высота}}\right)^2\]

Теперь подставим значение для \(x\):

\[S = 9\left(\frac{22 \times 3}{\text{высота}}\right)^2\]

\[S = 9\left(\frac{66}{\text{высота}}\right)^2\]

Теперь у нас есть выражение для площади \(S\) в терминах высоты \(\text{высота}\). Мы знаем, что \(S = 5,3125\), поэтому мы можем решить уравнение относительно \(\text{высоты}\):

\[5,3125 = 9\left(\frac{66}{\text{высота}}\right)^2\]

Решим это уравнение и найдем значение высоты. После этого мы сможем использовать найденное значение для вычисления длин катетов и гипотенузы.