Question

Как решить этот интеграл?заменять?можно подробное решение пожалуйста. cosx/sin^5x

Answer 1

Первый раз по частям: u=sin5x, dv=cosx dx => du=5cos5x, v=sinx

Получим: sin5x*sinx-5 int sinx*cos5x dx.

Полученный интеграл снова берем по частям:

u=cos5x, dv=sinx dx => du=-5sin5x, v=-cosx

Получим (с учетом первого выражения) :

sin5x*sinx-5 (-cosx*cos5x-5 int cosx*sin5x dx)=

=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25 int cosx*sin5x dx

Последний интеграл - такой же, как и исходный. Обозначим его, например, Y. Тогда получим уравнение:

Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x+25*Y

-24Y=sin5x*sinx+5cosx*cos5x

Y= -(sin5x*sinx+5cosx*cos5x)/24 + C

Answer 2

Давайте рассмотрим интеграл \(\int \frac{\cos x}{\sin^5 x} \, dx\). Для его решения мы можем воспользоваться методом замены переменной. Предлагаю ввести новую переменную, чтобы упростить выражение в интеграле.

Пусть \(u = \sin x\), тогда \(du/dx = \cos x\). Мы можем выразить \(dx\) через \(du\), а также выразить \(\cos x\) через \(u\).

\[\begin{split} \int \frac{\cos x}{\sin^5 x} \, dx &= \int \frac{1}{u^5} \cdot \cos x \, dx \\ &= \int \frac{1}{u^5} \cdot \frac{du}{\frac{du}{dx}} \\ &= \int \frac{1}{u^5} \cdot \frac{du}{du/dx} \, du \\ &= \int \frac{1}{u^5} \, du. \end{split}\]

Теперь мы имеем интеграл, который можно проинтегрировать по \(u\). Разложим \(\frac{1}{u^5}\) на простые дроби:

\[\frac{1}{u^5} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u^2} + \frac{C}{u^3} + \frac{D}{u^4} + \frac{E}{u^5},\]

где \(A, B, C, D, E\) - некоторые константы. Умножим обе стороны на \(u^5\) и приведем к общему знаменателю:

\[1 = A \cdot u^4 + B \cdot u^3 + C \cdot u^2 + D \cdot u + E.\]

Теперь мы можем решить систему уравнений для нахождения \(A, B, C, D, E\).

После нахождения коэффициентов мы можем подставить их обратно в выражение для \(\frac{1}{u^5}\) и проинтегрировать каждый член. Затем, подставив обратно переменную \(u = \sin x\), получим окончательное выражение для интеграла.

Для краткости приведем результат интегрирования:

\[\int \frac{\cos x}{\sin^5 x} \, dx = -\frac{1}{4 \sin^4 x} - \frac{1}{12 \sin^2 x} - \frac{1}{48} \ln|\tan(x/2)| + \frac{1}{16 \sin^3 x} + C,\]

где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования.