Question

В прямоугольном треугольнике ABC отрезки AP, BM и CN пересекаются в точке O (см. рисунок). Известно что OC=OA==8, OP=ON=4. Найдите длину отрезка AN, если CP=4 корня из 3

Answer 1

1. биссектриса делит угол пополам, поэтому углы будут равны
2. отрезки пересекаются. при пересечении получаются вертикальные углы.... вертикальные углы всегда равны
достроим углы ACO и DBO ...у нас образуются два треугольника.... CO=BO и AO=OD ...треугольники подобны, а значит все углы у них соответственно равны
3. достроим отрезки, чтобы получить искомые углы.... PMO= углу HKO....углы MOP=HOK (вертикальные).... два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, а значит и третий угол одного тоже равен третьему углу другого треугольника

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух его катетов.

По условию задачи, известно, что значит что длины отрезков oc и oa равны 8, а отрезков op и on равны 4.

Таким образом, можно записать следующие два уравнения:

oc^2 + oa^2 = ac^2 --- (1) op^2 + on^2 = np^2 --- (2)

Также из условия известно, что cp = 4√3. Поскольку треугольник прямоугольный, то на основании теоремы Пифагора вытекает следующее уравнение:

ac^2 = np^2 + cp^2 --- (3)

Из уравнения (1) следует, что ac^2 = oc^2 + oa^2 = 8^2 + 8^2 = 128

Подставим это значение в уравнение (3): 128 = np^2 + (4√3)^2 = np^2 + 48

Теперь найдем длину отрезка an. Из уравнения (2) следует, что np^2 + (4√3)^2 = on^2 + op^2 = 4^2 + 4^2 = 32

Подставим значение np^2 = 32 в уравнение (3): 128 = 32 + 48 128 = 80 np = √80 = 4√5

Теперь найдем длину отрезка an. Из уравнения (2) следует, что np^2 + (4√3)^2 = on^2 + op^2 = 4^2 + 4^2 = 32

Подставим значение np^2 = 32 в уравнение (3): 128 = 32 + 48 128 = 80 np = √80 = 4√5

Теперь найдем длину отрезка an: an = ac - cn ac = √128 = 8√2 cn = cp = 4√3

an = 8√2 - 4√3

Таким образом, длина отрезка an равна 8√2 - 4√3.