Question

1) Как определить угол между скрещивающимися прямыми в пространстве? 2) Как определяется расстояние между скрещивающимися прямыми? 3) Каков признак перпендикулярности двух плоскостей? 4) Какие векторы называются коллинеарными? 5) Какие вектора называются компланарными? 6) Как вычисляются координаты вектора в пространстве? Пожалуйста, кратко и понятно!!

Answer 1

1. Угол между скрещивающимися прямыми MN равен углу между пересекающимися прямыми M₁N₁, спроецированными в одной плоскости.

2. Чтобы определить расстояние между скрещивающимися прямыми нужно найти длину перпендикуляра между ними. Его длина и будет искомым расстоянием.

3. Признак перпендикулярности двух плоскостей: плоскости перпендикулярны, если одна плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости.

4. Коллинеарные векторы - это векторы, которые лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

5. Компланарные векторы - это векторы, которые лежат на одной плоскости либо параллельны какой-то одной плоскости.

6. Чтобы вычислить координаты векторы в пространстве, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.

Answer 2

1) Определение угла между скрещивающимися прямыми в пространстве: Угол между скрещивающимися прямыми можно найти с использованием векторов направления этих прямых. Пусть векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) соответствуют направлениям прямых. Тогда угол \( \theta \) между прямыми определяется следующим образом: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \] где \( \cdot \) - скалярное произведение векторов, а \( \|\mathbf{u}\| \) и \( \|\mathbf{v}\| \) - длины векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) соответственно.

2) Определение расстояния между скрещивающимися прямыми: Расстояние \( d \) между скрещивающимися прямыми можно найти с использованием векторного произведения и нормирования. Если вектор \( \mathbf{w} \) - это направляющий вектор, проведенный из точки одной прямой к другой, то расстояние \( d \) вычисляется как: \[ d = \frac{\|\mathbf{w} \|}{\|\mathbf{u} \times \mathbf{v} \|} \] где \( \times \) - векторное произведение, а \( \|\mathbf{w} \| \) - длина вектора \( \mathbf{w} \).

3) Признак перпендикулярности двух плоскостей: Две плоскости перпендикулярны между собой, если их нормальные векторы коллинеарны или, иначе говоря, если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю.

4) Коллинеарные векторы: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны и масштабированы друг относительно друга. Другими словами, векторы \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \) коллинеарны, если существует число \( k \), такое что \( \mathbf{u} = k\mathbf{v} \).

5) Компланарные векторы: Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Три вектора \( \mathbf{u} \), \( \mathbf{v} \), и \( \mathbf{w} \) компланарны, если их смешанное произведение равно нулю: \( \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = 0 \).

6) Вычисление координат вектора в пространстве: Вектор в пространстве может быть представлен как упорядоченный набор координат \( (x, y, z) \). Координаты вектора могут быть найдены, например, по разности координат конечной и начальной точек, если известна направляющая длина вектора: \[ \mathbf{v} = (x, y, z) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \] где \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) - координаты начальной и конечной точек вектора.