Question

Решите в целых числах уравнение x^3+y^3=(x+y)^3

Answer 1

$x^3+y^3=(x+y)^3$
$x^3+y^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
$x^3+y^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2$
$3x^2y+3xy^2=0$
$3xy\cdot(x+y)=0$
$x+y=\frac{0}{3xy}=0$
$y=-x$

Вроде как это можно взять как конечный ответ, но написано решить в целых числах, этого я не понимаю. Можно найти область определения функции, т.е. $x\in(-\infty;+\infty)$. То есть $x$ может принимать любые значения, $y$ будет с другим знаком, но равно по модулю

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах, мы можем применить метод перебора.

Имеем уравнение: x^3 + y^3 = (x + y)^3

Раскроем куб суммы (x + y)^3:

x^3 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3

Упростим уравнение:

0 = 3x^2y + 3xy^2

Разделим обе части на 3xy:

0 = x^2 + xy + y^2

Теперь мы видим, что данное уравнение является квадратным трехчленом относительно переменной x.

Мы можем рассмотреть несколько случаев:

1. Если x = 0, то уравнение превращается в y^2 = 0, что означает, что y = 0.

2. Если y = 0, то уравнение превращается в x^2 = 0, что означает, что x = 0.

3. Если x и y не равны нулю, то мы можем поделить обе части уравнения на xy:

0 = x + y + 1

Мы видим, что в этом случае сумма x и y должна быть равна -1.

Итак, решения уравнения x^3 + y^3 = (x + y)^3 в целых числах: (0, 0) и (-1, 0) (или (0, -1)).