Question

Образующая косинуса равна 3, а площадь круга основания 4п. Найти площадь боковой поверхности конуса.

Answer 1

S=πR²=4π
R²=1
R=1
Sбп=πRl=π*1*3=3π

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для площади боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l, \]

где \( r \) - радиус основания конуса, а \( l \) - образующая конуса.

Также, образующая и радиус конуса связаны с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, образующей и высотой конуса:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \]

где \( h \) - высота конуса.

В данной задаче известно, что образующая конуса равна 3, и площадь основания равна \( 4\pi \). Мы можем использовать это, чтобы найти радиус основания \( r \). Площадь основания круга выражается формулой:

\[ S_{\text{осн}} = \pi r^2, \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания.

Подставим известные значения:

\[ 4\pi = \pi r^2. \]

Теперь разрешим уравнение относительно \( r \):

\[ r^2 = 4. \]

\[ r = 2. \]

Таким образом, радиус основания конуса \( r = 2 \).

Теперь мы можем использовать найденное значение радиуса и образующей, чтобы найти высоту конуса \( h \) снова, используя теорему Пифагора:

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \]

\[ 3 = \sqrt{2^2 + h^2}. \]

\[ 3 = \sqrt{4 + h^2}. \]

\[ 3^2 = 4 + h^2. \]

\[ 9 = 4 + h^2. \]

\[ h^2 = 5. \]

\[ h = \sqrt{5}. \]

Теперь у нас есть радиус \( r = 2 \) и высота \( h = \sqrt{5} \).

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:

\[ S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot 2 \cdot 3 = 6\pi. \]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна \( 6\pi \).