Question

Исследуйте функцию у=2х^3-6х+5 с помощью производной, постройте график.

Answer 1

Поисковая система тебе в помощь ллллллллллллллллллллллллллллллллллллоллл

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию \( y = 2x^3 - 6x + 5 \) и проведем исследование с использованием производной.

1. Нахождение производной: Начнем с нахождения производной функции по \( x \).

Пусть \( y = 2x^3 - 6x + 5 \).

Производная функции \( y' \) по \( x \) равна: \[ y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 6 \]

2. Нахождение точек экстремума: Найдем точки, в которых производная равна нулю: \[ 6x^2 - 6 = 0 \]

Решая это уравнение, получим: \[ x^2 = 1 \]

Отсюда: \[ x = 1 \] и \( x = -1 \).

3. Определение знаков производной: Теперь определим знаки производной в интервалах, образованных найденными точками:

- При \( x < -1 \): \( 6x^2 - 6 > 0 \) (парабола вверх), значит, производная положительна. - Между \( -1 < x < 1 \): \( 6x^2 - 6 < 0 \) (парабола вниз), значит, производная отрицательна. - При \( x > 1 \): \( 6x^2 - 6 > 0 \) (парабола вверх), значит, производная положительна.

4. Нахождение значений функции в критических точках и на бесконечности: Найденные критические точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) исследуем, подставив их в исходную функцию.

- При \( x = -1 \): \( y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 5 = 2 + 6 + 5 = 13 \). - При \( x = 1 \): \( y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 5 = 2 - 6 + 5 = 1 \).

Также можно исследовать поведение функции на бесконечности: - При \( x \to +\infty \): \( y \to +\infty \) (функция растет). - При \( x \to -\infty \): \( y \to -\infty \) (функция убывает).

5. Построение графика: Теперь мы можем построить график функции, учитывая результаты исследования. Я рекомендую использовать графический инструмент, такой как Python с библиотекой Matplotlib.

Пример кода на Python для построения графика:

   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
   def func(x):
       return 2 * x**3 - 6 * x + 5

# Генерация значений x
   x = np.linspace(-2, 2, 400)
   
   # Генерация значений y
   y = func(x)

# Построение графика
   plt.plot(x, y, label='y = 2x^3 - 6x + 5')
   plt.scatter([-1, 1], [13, 1], color='red')  # Точки экстремума
   plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
   plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
   plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
   plt.legend()
   plt.title('График функции и её производной')
   plt.xlabel('x')
   plt.ylabel('y')
   plt.show()
   

Этот код создает график функции с отмеченными критическими точками. Вам нужно установить библиотеки NumPy и Matplotlib, если у вас их нет.

Этот график должен помочь вам визуализировать поведение функции и подтвердить результаты анализа.