Question

Докажите, что когда диагонали четырехугольника пересикаются то его вершины лежат в одной плоскости

Answer 1

Проведем плоскость через точки А, В иС. Точка пересечения диагоналей принадлежит прямой АС, лежащей в построенной плоскости. Значит эта точка тоже лежит в этой плоскости. Диагональ ВД имеет две точки, лежащие в плоскости: В - по построению, и точку пересечения диагоналей. Следовательно вся диагональ принадлежит построенной плоскости. Получилось, что все точки А, В, С иД лежат в одной плоскости.

Answer 2

Доказательство того, что когда диагонали четырехугольника пересекаются, его вершины лежат в одной плоскости

Чтобы доказать, что когда диагонали четырехугольника пересекаются, его вершины лежат в одной плоскости, мы можем использовать следующий аргумент:

Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, и его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Мы хотим показать, что вершины A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD, образованные диагоналями AC и BD, и точкой пересечения O.

2. По теореме о треугольнике, сумма углов треугольника равна 180 градусам. Таким образом, угол AOB + угол BOC + угол COD = 180 градусов.

3. Также известно, что угол AOB + угол COD = 180 градусов, так как это смежные углы, образованные пересекающимися прямыми.

4. Следовательно, угол BOC = 0 градусов.

5. Угол BOC равен нулю градусов, что означает, что точка O лежит на прямой BC.

6. Аналогично, можно показать, что точка O лежит на прямых AB, CD и AD.

7. Таким образом, точка O лежит на всех четырех ребрах четырехугольника ABCD.

8. Поскольку точка O лежит на всех ребрах четырехугольника ABCD, вершины A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что когда диагонали четырехугольника пересекаются, его вершины лежат в одной плоскости.