Question

Интеграл(квадратный корень из x+3x^2-1)dx

Answer 1

.............................

Answer 2

Для решения данного интеграла, давайте разберемся с выражением под корнем. У вас есть \(\sqrt{x + 3x^2 - 1}\). Для упрощения интеграла мы можем попытаться выразить это выражение через полный квадрат. Для этого давайте дополним квадрат выражения \(x + 3x^2 - 1\), чтобы получить полный квадрат:

\[x + 3x^2 - 1 = 3x^2 + x - 1\]

Теперь добавим и вычтем \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 3 = \frac{3}{4} \):

\[= 3x^2 + x + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} - 1\]

\[= 3\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}\]

Теперь подставим это обратно в интеграл:

\[\int \sqrt{x + 3x^2 - 1} \,dx = \int \sqrt{3\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{4}} \,dx\]

Теперь интегрируем это выражение. Для удобства заменим переменную:

\[u = x + \frac{1}{2}\]

\[du = dx\]

Теперь интеграл принимает следующий вид:

\[\int \sqrt{3u^2 - \frac{7}{4}} \,du\]

\[= \int \sqrt{3\left(u^2 - \frac{7}{12}\right)} \,du\]

\[= \int \sqrt{3}\sqrt{u^2 - \frac{7}{12}} \,du\]

\[= \sqrt{3} \int \sqrt{u^2 - \frac{7}{12}} \,du\]

Теперь мы сталкиваемся с интегралом, который может быть решен с использованием арксинуса:

\[= \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{12}}{2} \arcsin\left(\frac{2u}{\sqrt{12}}\right) + C\]

Теперь подставим обратно выражение для \(u\):

\[= \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{12}}{2} \arcsin\left(\frac{2\left(x + \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{12}}\right) + C\]

\[= \frac{1}{2} \sqrt{3} \sqrt{12} \arcsin\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{12}}\right) + C\]

\[= \frac{1}{2} \sqrt{36} \arcsin\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{12}}\right) + C\]

\[= 6 \arcsin\left(\frac{2x + 1}{\sqrt{12}}\right) + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.