Question

Найти производную функции: 7sin^2(x+y^2)=x

Answer 1

Берем производную от левой и правой частей

(14sin(x+$y^{2}$)cos(x+$y^{2}$)(1+2yy')=1

1+2yy'=$\frac{1}{7sin(2x+2y^2)}$

y'=$\frac{7sin(2x+2y^2)-1}{2y}$

Answer 2

Для нахождения производной функции, данной в уравнении, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и цепное правило.

Дано уравнение: 7sin^2(x+y^2) = x

Шаг 1: Возьмем производную от обеих сторон уравнения

Давайте сначала возьмем производную от обеих сторон уравнения по переменной x. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Правило дифференцирования сложной функции:

Если у нас есть функция f(g(x)), где f и g - дифференцируемые функции, то производная f(g(x)) по x равна произведению производной f(g(x)) по g(x) и производной g(x) по x.

Шаг 2: Вычисляем производную сложной функции

Давайте применим правило дифференцирования сложной функции к нашему уравнению:

7sin^2(x+y^2) = x

Дифференцируем обе части уравнения по переменной x:

d/dx [7sin^2(x+y^2)] = d/dx [x]

Теперь нам нужно вычислить производные сложной функции.

Производная sin^2(x+y^2) по x:

По цепному правилу, производная сложной функции sin^2(x+y^2) по x равна произведению производной sin^2(u) по u и производной (x+y^2) по x, где u = (x+y^2).

d/dx [sin^2(x+y^2)] = d/du [sin^2(u)] * d/dx [(x+y^2)]

Производная sin^2(u) по u:

Теперь давайте возьмем производную sin^2(u) по u. Для этого мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования степенной функции:

Если у нас есть функция f(u) = u^n, где n - константа, то производная f(u) по u равна n * u^(n-1).

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

d/du [sin^2(u)] = 2 * sin(u) * d/du [sin(u)]

Производная sin(u) по u:

Производная sin(u) по u равна cos(u).

Шаг 3: Выражаем производную и решаем уравнение

Теперь мы можем выразить производную и решить уравнение.

d/dx [7sin^2(x+y^2)] = 2 * sin(x+y^2) * cos(x+y^2) * d/dx [(x+y^2)] = 1

Теперь решим уравнение относительно производной:

2 * sin(x+y^2) * cos(x+y^2) * d/dx [(x+y^2)] = 1

Выражаем производную:

d/dx [(x+y^2)] = 1 / (2 * sin(x+y^2) * cos(x+y^2))

Таким образом, производная функции 7sin^2(x+y^2) = x равна 1 / (2 * sin(x+y^2) * cos(x+y^2)).