Question

При каких значениях b графики функций имеют общие точки: y=x^2+6x+7 и y=2x+b?

Answer 1

Y = x^2 + 6x + 7
Посмотрим, при каком b прямая y = 2x + b - касательная к параболе.
y(x0) = x0^2 + 6x0 + 7
y ' (x) = 2x + 6
y ' (x0) = 2x0 + 6
Уравнение касательной
f(x) = y(x0) + y ' (x0)*(x - x0) = x0^2 + 6x0 + 7 + (2x0 + 6)(x - x0) =
= x0^2 + 6x0 + 7 + (2x0+6)*x - 2x0^2 - 6x0 = (2x0+6)*x - x0^2 + 7 = 2x + b
Коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны
{ 2x0 + 6 = 2
{ -x0^2 + 7 = b
Получаем
{ x0 = -2; y(x0) = (-2)^2 + 6(-2) + 7 = 4 - 12 + 7 = -1
{ b = -(-2)^2 + 7 = -4 + 7 = 3
Значит, прямая y = 2x + 3 - касательная к параболе в точке (-2; -1)
При b > 3 прямая пересекает параболу в 2 точках.

Answer 2

Для того чтобы найти общие точки графиков функций \(y = x^2 + 6x + 7\) и \(y = 2x + b\), нужно приравнять их выражения:

\[x^2 + 6x + 7 = 2x + b\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[x^2 + 6x + 7 - 2x - b = 0\]

\[x^2 + 4x + 7 - b = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Чтобы у этого уравнения были действительные корни (точки пересечения графиков), дискриминант должен быть неотрицательным:

\[D = b^2 - 4ac \geq 0\]

где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = 7 - b\). Подставим значения:

\[D = 4^2 - 4(1)(7 - b) \geq 0\]

\[16 - 4(7 - b) \geq 0\]

\[16 - 28 + 4b \geq 0\]

\[-12 + 4b \geq 0\]

\[4b \geq 12\]

\[b \geq 3\]

Таким образом, при значениях \(b \geq 3\) у уравнения \(y = 2x + b\) и \(y = x^2 + 6x + 7\) есть общие точки.