Question

Известно, что sin x = 3/2sin y - 2/3cos y, cos x = 3/2cos y - 2/3sin y. Найдите sin2y

Answer 1

$sinx= \frac{3}{2} sin y - \frac{2}{3} cos y$
$cosx= \frac{3}{2} cos y - \frac{2}{3} sin y$
$sin2y-$ ?

   $sinx= \frac{3}{2} sin y - \frac{2}{3} cos y$
*  
   $cosx= \frac{3}{2} cos y - \frac{2}{3} sin y$
---------------------------------------------------------
$sinx*cosx=(\frac{3}{2} sin y - \frac{2}{3} cos y)*( \frac{3}{2} cos y - \frac{2}{3} sin y)$
$sinx*cosx=\frac{9}{4} sin y*cosy-sin^2y-cos^2y+ \frac{4}{9} cos y}*sin y$
$sinx*cosx=\frac{81}{36} sin y*cosy-(sin^2y+cos^2y)+ \frac{16}{36} cos y}*sin y$
$sinx*cosx=\frac{97}{36} sin y*cosy-1$
$0.5sin2x=\frac{97}{36} sin y*cosy-1$
$\frac{97}{36} sin y*cosy=0.5sin2x+1$
$sin y*cosy=(0.5sin2x+1):\frac{97}{36}$
$sin y*cosy=(0.5sin2x+1)*\frac{36}{97}$
$sin y*cosy= \frac{18sin2x+36}{97}$

$sin2y=2siny*cosy$
$sin2y=2* \frac{18sin2x+36}{97}$
$sin2y=\frac{36sin2x+72}{97}$

Answer 2

Для решения данного уравнения и нахождения значения sin(2y), нам понадобится использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Вначале, давайте приведем уравнение к виду, удобному для решения. Используя тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x), мы можем выразить sin(2y) через sin(y) и cos(y).

Подставим данные из уравнения: sin(x) = (3/2)sin(y) - (2/3)cos(y) cos(x) = (3/2)cos(y) - (2/3)sin(y)

Теперь применим формулу сложения для sin и cos: sin(x) = sin(y)cos(y) + cos(y)sin(y) - (2/3)cos(y) cos(x) = cos(y)cos(y) - sin(y)sin(y) - (2/3)sin(y)

Мы видим, что в обоих уравнениях есть sin(y)cos(y) и cos(y)cos(y) - sin(y)sin(y). Можем объединить эти члены: sin(x) = 2sin(y)cos(y) - (2/3)cos(y) cos(x) = cos(y)cos(y) - 2sin(y)sin(y) - (2/3)sin(y)

Теперь рассмотрим соотношение между sin(x) и cos(x). Используя теорему Пифагора (sin^2(x) + cos^2(x) = 1), мы можем выразить sin(x) через cos(x) и наоборот: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))

Подставим эти выражения в уравнения для sin(x) и cos(x): sqrt(1 - cos^2(x)) = 2sin(y)cos(y) - (2/3)cos(y) sqrt(1 - sin^2(x)) = cos(y)cos(y) - 2sin(y)sin(y) - (2/3)sin(y)

Приведем оба уравнения к общему знаменателю 3: sqrt(3 - 3cos^2(x)) = 6sin(y)cos(y) - 2cos(y) sqrt(3 - 3sin^2(x)) = 3cos(y)cos(y) - 6sin(y)sin(y) - 2sin(y)

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: 3 - 3cos^2(x) = 36sin^2(y)cos^2(y) - 24sin(y)cos(y) + 4cos^2(y) 3 - 3sin^2(x) = 9cos^2(y)cos^2(y) - 36sin^2(y)cos^2(y) + 12sin(y)cos(y) - 4sin^2(y)

Упростим оба уравнения: 3cos^2(x) - 4cos^2(y) = 36sin^2(y)cos^2(y) - 24sin(y)cos(y) 3sin^2(x) - 4sin^2(y) = 9cos^2(y)cos^2(y) - 36sin^2(y)cos^2(y) + 12sin(y)cos(y)

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (cos(y) и sin(y)). Решим систему уравнений численно или аналитически, чтобы найти значения sin(y) и cos(y). Однако, для полного решения системы нам нужны дополнительные данные, так как у нас не хватает информации, чтобы однозначно определить значения sin(y) и cos(y).

Поэтому, без дополнительных данных, мы не можем найти точное значение sin(2y).