Question

Исследовать функцию на экстремумы у= 1+x^2-(x^4/2)

Answer 1

ДАНО
Y = - x⁴/4 + x² + 1
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Первая производная
Y' = -2x³ + 2x = 2х*(1-х²)
Экстремумы в точках
Максимум - х= - 1 Y(-1) = 3/2 = 1.5
Минимум - х= 0  Y(0) = 1
Максимум - х= +1 Y(1) = 1.5

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y = 1 + x^2 - (x^4/2). 2. Найдите точки, в которых производная равна нулю. 3. Определите характер экстремумов в найденных точках с помощью второй производной. 4. Проведите исследование на минимум или максимум в каждой точке.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную функции y = 1 + x^2 - (x^4/2).

y'(x) = 2x - 2x^3.

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

2x - 2x^3 = 0.

Вынесем 2x за скобку:

2x(1 - x^2) = 0.

Теперь у нас есть два множителя: 2x = 0 и (1 - x^2) = 0. Решим каждое уравнение отдельно:

a) 2x = 0. Это уравнение имеет один корень: x = 0.

b) 1 - x^2 = 0. Это уравнение можно решить как x^2 = 1, что дает два корня: x = 1 и x = -1.

3. Теперь определим характер экстремумов в найденных точках с помощью второй производной. Для этого найдем вторую производную:

y''(x) = 2 - 6x^2.

4. Проведем исследование на минимум или максимум в каждой из найденных точек:

a) Для x = 0: y''(0) = 2 - 6(0)^2 = 2. Вторая производная положительна, что означает, что точка x = 0 является минимумом функции.

b) Для x = 1: y''(1) = 2 - 6(1)^2 = 2 - 6 = -4. Вторая производная отрицательна, что означает, что точка x = 1 является максимумом функции.

c) Для x = -1: y''(-1) = 2 - 6(-1)^2 = 2 - 6 = -4. Вторая производная также отрицательна, что означает, что точка x = -1 также является максимумом функции.

Итак, мы нашли три точки, в которых производная равна нулю, и определили их характер как минимумы и максимумы функции y = 1 + x^2 - (x^4/2). Теперь мы можем сказать, что:

- x = 0 - минимум функции. - x = 1 - максимум функции. - x = -1 - максимум функции.