Question

2^(x+1)+2^(x-1)≤10. Решить неравенство

Answer 1

2^(x-1) * ( 4+1) ≤ 10
2 ^(x-1) ≤ 2
x-1≤1
x≤ 2
Ответ: (-∞; 2]

Answer 2

Давайте заменим 2^x=t, где t>0
2^(x+1)=2^x*2, а 2^(x-1)=2^x/2, отсюда получаем
2t+t/2≤10
2,5t≤10
t≤4
2^x≤4
x≤2

Answer 3

Для решения данного неравенства, мы должны найти значения переменной x, при которых неравенство выполняется. Разберемся подробнее:

Неравенство, которое мы должны решить: 2^(x+1) + 2^(x-1) ≤ 10.

Шаг 1: Приведение к общему основанию

Для начала, заметим, что оба слагаемых имеют одинаковый множитель 2. Мы можем привести их к общему основанию и упростить неравенство.

2^(x+1) + 2^(x-1) = 2 * 2^x + (1/2) * 2^x = (2 * 2^x) + (1/2) * (2^x).

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Чтобы упростить выражение, мы можем привести его к общему знаменателю. Заметим, что первое слагаемое имеет знаменатель 1, а второе слагаемое имеет знаменатель 2.

(2 * 2^x) + (1/2) * (2^x) = (4/2) * 2^x + (1/2) * (2^x) = (4/2 + 1/2) * 2^x = (5/2) * 2^x.

Шаг 3: Переписывание неравенства

Теперь мы можем переписать исходное неравенство с использованием нашего упрощенного выражения:

(5/2) * 2^x ≤ 10.

Шаг 4: Устранение коэффициента

Чтобы избавиться от коэффициента перед 2^x, мы можем разделить обе стороны неравенства на (5/2):

(5/2) * 2^x ≤ 10 / (5/2).

Шаг 5: Упрощение

Деление числа на дробь эквивалентно умножению числа на обратную дробь:

(5/2) * 2^x ≤ 10 / (5/2) => (5/2) * 2^x ≤ (10 * 2) / 5 => (5/2) * 2^x ≤ 4.

Шаг 6: Устранение степени

Чтобы избавиться от степени 2^x, мы можем применить логарифм с основанием 2 к обеим сторонам неравенства:

log2((5/2) * 2^x) ≤ log2(4).

Шаг 7: Применение свойств логарифмов

Согласно свойствам логарифмов, мы можем переместить степень вперед и применить логарифмический закон умножения:

log2((5/2) * 2^x) ≤ log2(4) => log2(5/2) + log2(2^x) ≤ log2(4) => log2(5/2) + x ≤ log2(4).

Шаг 8: Упрощение

Мы можем упростить неравенство, заметив, что log2(2^x) равно x:

log2(5/2) + x ≤ log2(4) => x + log2(5/2) ≤ log2(4).

Шаг 9: Решение неравенства

Теперь мы можем решить неравенство, выражая x:

x ≤ log2(4) - log2(5/2).

Шаг 10: Вычисление значения

Подсчитаем значение правой части неравенства:

x ≤ log2(4) - log2(5/2) ≈ 2 - 0.678 ≈ 1.322.

Таким образом, решением данного неравенства является x ≤ 1.322.