Question

Найдите отношение площадей треугольников ABC и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, NK = 20 см. РЕШИТЕ ПОДРОБНО ПОЖАЛУЙСТА!!!

Answer 1

Треугольники подобны по 3 признаку, с коэффициентом подобия 4/5, значит площади относятся как 16/25

Answer 2

Конечно, это задача на нахождение отношения площадей двух треугольников, которые подобны. Подобные треугольники имеют соответственные стороны, пропорциональные между собой, а отношение их площадей равно квадрату отношения соответственных сторон.

Для начала определим подобные треугольники. Известно, что у треугольников АВС и КМN соответствующие углы равны, так как все они образованы параллельными прямыми (AB || KM, AC || KN, BC || MN). Также известно, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

AB : KM = BC : MN = AC : KN

Теперь найдем отношение площадей этих треугольников. Площадь треугольника можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \).

Для треугольника ABC: - AB = 8 см - BC = 12 см - AC = 16 см

Чтобы найти площадь треугольника ABC, используем формулу Герона для треугольников, где известны все три стороны:

1. Найдем полупериметр треугольника ABC: \( s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{8 + 12 + 16}{2} = 18 \) см

2. Теперь найдем площадь треугольника ABC с использованием формулы Герона: \( S_{ABC} = \sqrt{s \times (s - AB) \times (s - BC) \times (s - AC)} \)

\( S_{ABC} = \sqrt{18 \times (18 - 8) \times (18 - 12) \times (18 - 16)} \) \( S_{ABC} = \sqrt{18 \times 10 \times 6 \times 2} \) \( S_{ABC} = \sqrt{2160} \) \( S_{ABC} \approx 46.57 \) см²

Теперь посмотрим на треугольник КМN: - KM = 10 см - MN = 15 см - KN = 20 см

Повторим те же шаги для нахождения площади треугольника KMN:

1. Найдем полупериметр треугольника KMN: \( s = \frac{KM + MN + KN}{2} = \frac{10 + 15 + 20}{2} = 22.5 \) см

2. Найдем площадь треугольника KMN: \( S_{KMN} = \sqrt{22.5 \times (22.5 - 10) \times (22.5 - 15) \times (22.5 - 20)} \) \( S_{KMN} = \sqrt{22.5 \times 12.5 \times 7.5 \times 2.5} \) \( S_{KMN} = \sqrt{2109.375} \) \( S_{KMN} \approx 45.93 \) см²

Теперь найдем отношение площадей треугольников:

Отношение площадей ABC и KMN равно отношению квадратов соответственных сторон, так как треугольники подобны:

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \left(\frac{AB}{KM}\right)^2 = \left(\frac{BC}{MN}\right)^2 = \left(\frac{AC}{KN}\right)^2\)

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \left(\frac{8}{10}\right)^2 = \left(\frac{12}{15}\right)^2 = \left(\frac{16}{20}\right)^2\)

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{4}{5}\right)^2\)

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \frac{16}{25}\)

Итак, отношение площадей треугольников ABC и KMN равно \(\frac{16}{25}\).