Question

Помогите с интегралом Интеграл ln2x(1+6x)dx Интеграл dx/(x^2-4x+8) Любой из этих

Answer 1

Интеграл(ln 2x*(1+6x)dx=ln2x*(x+3x^2)-Интеграл((x+3x^2)*2/x)dx=ln2x*(x+3x^2)-2x+3x^2+C

Answer 2

В первом непонятно, что под логарифмом, а что нет... попробуйте пользоваться редактором формул при составлении задач

$\int{\frac{dx}{x^2-4x+8}}=\int{\frac{dx}{(x-2)^2+4}}=\frac{1}{2}\int{\frac{\frac{d(x-2)}{2}}{1+(\frac{x-2}{2})^2}}=0.5*\arctan(\frac{x-2}{2})+C$

Answer 3

Давайте поочередно рассмотрим оба интеграла.

1. Интеграл \(\int \ln(2x)(1+6x) \,dx\):

Разберемся с интегралом по частям, используя формулу \(\int u \,dv = uv - \int v \,du\). Обозначим \(u = \ln(2x)\) и \(dv = (1 + 6x) \,dx\):

\[du = \frac{1}{x} \,dx\] \[v = \int (1 + 6x) \,dx = x + 3x^2\]

Теперь применяем формулу:

\[\int \ln(2x)(1+6x) \,dx = uv - \int v \,du\]

\[= \ln(2x)(x + 3x^2) - \int (x + 3x^2) \left(\frac{1}{x} \,dx\right)\]

\[= \ln(2x)(x + 3x^2) - \int \left(1 + \frac{3}{x}\right) \,dx\]

\[= \ln(2x)(x + 3x^2) - \int 1 \,dx - \int \frac{3}{x} \,dx\]

\[= \ln(2x)(x + 3x^2) - x - 3\ln|x| + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

2. Интеграл \(\int \frac{dx}{x^2 - 4x + 8}\):

Сначала завершим квадрат в знаменателе:

\[x^2 - 4x + 8 = (x^2 - 4x + 4) + 4 = (x - 2)^2 + 4\]

Теперь сделаем замену \(u = x - 2\), тогда \(du = dx\):

\[\int \frac{dx}{x^2 - 4x + 8} = \int \frac{du}{u^2 + 4}\]

Этот интеграл можно взять, используя арктангенс:

\[= \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) + C\]

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

\[= \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x-2}{2}\right) + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Таким образом, вы получили ответы на оба интеграла.