Question

Решите неравенство:log(3)*(log1/3*x/1-x)<=3

Answer 1

$log_3(log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{1-x}) \leq 3$;
$3>1;$;
$0<log_{\frac{1}{3} \frac{x}{1-x} \leq 3^3$;
$0<log_{\frac{1}{3} \frac{x}{1-x} \leq 27$;
$0<\frac{1}{3}<1$;
$(\frac{1}{3})^0>\frac{x}{1-x} \geq (\frac{1}{3})^{27}$;
$\frac{x}{1-x}=-\frac{-x}{1-x}=-\frac{1-x-1}{1-x}=\\\\-\frac{1-x}{1-x}+\frac{1}{1-x}=-1+\frac{1}{1-x}$;
$1>\frac{1}{1-x} -1\geq 3^{-27}$
$2>\frac{1}{1-x} \geq 1+3^{-27}$
$\frac{1}{2}<1-x \leq \frac{1}{1+3^{-27}}$
$-\frac{1}{2}<-x \leq -\frac{3^{-27}}{1+3^{-27}}$
$\frac{1}{2}>x \geq \frac{1}{3^{27}+1}$
x є $[\frac{1}{3^{27}+1};0.5)$

Answer 2

Для решения данного неравенства, вам понадобится использовать свойства логарифмов и алгебраические преобразования. Давайте посмотрим на каждую часть неравенства по отдельности.

Первая часть: log(3) Логарифм по основанию 3 может быть записан как log₃(x). Это означает, что мы ищем значение логарифма, которое будет равно 3.

Вторая часть: log(1/3 * x / (1-x)) Для упрощения этой части неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов. В частности, мы можем использовать свойство log(a * b) = log(a) + log(b) и log(a / b) = log(a) - log(b).

log(1/3 * x / (1-x)) = log(1/3) + log(x) - log(1-x)

Теперь мы можем объединить обе части неравенства:

log₃(x) + log(1/3) + log(x) - log(1-x) <= 3

Чтобы продолжить решение, нам нужно учесть следующие свойства логарифмов:

- log(a) + log(b) = log(a * b) - log(a) - log(b) = log(a / b)

Теперь давайте объединим все логарифмы в один:

log₃(x) + log(1/3) + log(x) - log(1-x) <= 3 log₃(x * (1/3) * x / (1-x)) <= 3

Упрощая выражение внутри логарифма, получаем:

log₃((x * x) / (3 * (1-x))) <= 3

Для того чтобы избавиться от логарифма, мы можем применить обратную функцию - возведение в степень по основанию 3. Получаем:

(x * x) / (3 * (1-x)) <= 3^3

Упрощаем выражение:

(x * x) / (3 * (1-x)) <= 27

Теперь мы можем умножить обе части неравенства на 3 * (1-x), но при этом нужно учесть знак неравенства. Если мы умножим на отрицательное число, то знак неравенства изменится. Поэтому нам нужно рассмотреть два случая:

Случай 1: (1-x) > 0

Если (1-x) > 0, то мы можем умножить обе части неравенства на 3 * (1-x) без изменения знака неравенства:

(x * x) <= 27 * (3 * (1-x))

Упрощаем:

x^2 <= 81 * (1-x)

x^2 <= 81 - 81x

x^2 + 81x - 81 <= 0

Теперь мы можем решить это квадратное неравенство. Однако, я не могу предоставить вам численное решение без дополнительной информации о диапазоне значений переменной x.

Случай 2: (1-x) < 0

Если (1-x) < 0, то мы должны умножить обе части неравенства на 3 * (1-x), но при этом изменить знак неравенства:

(x * x) >= 27 * (3 * (1-x))

Упрощаем:

x^2 >= 81 * (1-x)

x^2 >= 81 - 81x

x^2 + 81x - 81 >= 0

Также как и в случае 1, я не могу предоставить вам численное решение без дополнительной информации о диапазоне значений переменной x.

Пожалуйста, уточните диапазон значений переменной x, чтобы мы могли решить это неравенство численно.