Question

Сколькими нулями заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011?

Answer 1

Сколькими нулями заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011?
Произведение всех чисел от 1 до 2011 можно представить как
1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^n
вынося все множители 10 за скобки , n -количество множителей 10
и оно же количество нулей, т.е. n - количество нулей, которым
заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011.
10^n = (2^n)*(5^n) , т.е. если мы вынесем за скобки все пары 2*5 ,то получим все множители 10. Количество 2 будет больше, чем 5, поэтому для каждой 5 всегда найдётся 2.
Задача сводится к нахождению количества множителей пятёрок в данном произведении
2011 / 5 = 402,2               402 числа кратных одной 5 (405 пятёрок)
2011 / (5 × 5) = 80,44          80 чисел кратных двум 5 (80×2=160 пятёрок)
2011 / (5 × 5 × 5) = 16,088     16 чисел кратных трём 5 (16×3=48 пятёрок)
2011 / (5 × 5 × 5 × 5) = 3,2176  3 чисел кратных четырём 5 (3×4=12 пятёрок)
в 402 числах:
                    402 пятёрки
160 - 80     =  80 пятёрок
48 -16 - 16 =  16 пятёрок
12 -3 -3 -3  = 3 пятёрки
т.о. если разложить на множители произведение всех чисел от 1 до 2011, то в нём, среди его множителей, будет :
402 + 80 + 16 +3 = 501 пятёрка , 5^501    n = 501
1*2*3*4*5*6*...*2009*2010*2011 =(1*3*4*6*...*2009*201*2011)*10^501
Ответ:
501 нулём заканчивается произведение всех чисел от 1 до 2011

Answer 2

Произведение всех чисел от 1 до 2011 заканчивается определенным количеством нулей. Чтобы определить это количество, нужно посчитать, сколько раз число 10 встречается в этом произведении. Поскольку 10 = 2 * 5, нам нужно посчитать, сколько раз встречается множитель 2 и множитель 5 в произведении.

Разложение чисел на множители

Чтобы определить количество нулей в произведении, разложим все числа от 1 до 2011 на простые множители и посчитаем количество множителей 2 и 5.

- Число 2 встречается в разложении каждого четного числа. В диапазоне от 1 до 2011 есть 1005 четных чисел, поэтому множитель 2 встречается 1005 раз. - Число 5 встречается в разложении чисел, которые являются кратными 5. В диапазоне от 1 до 2011 есть 402 числа, кратных 5, поэтому множитель 5 встречается 402 раз.

Количество нулей в произведении

Теперь, чтобы определить количество нулей в произведении всех чисел от 1 до 2011, нужно определить минимальное количество множителей 2 и 5. Поскольку множитель 5 встречается реже, это количество будет определять количество нулей в произведении.

- Множитель 5 встречается 402 раз. - Множитель 2 встречается 1005 раз.

Таким образом, произведение всех чисел от 1 до 2011 заканчивается 402 нулями.