Question

Вторая производная Найти промежутки выпуклости и точки перегиба f(x)= x^4-10x^3+36x^2-100

Answer 1

РЕШЕНИЕ
F =x⁴ - 10x³+36x²-100
Первая производная -  степень становится коэффициентом у уменьшается на единицу.
F' =4*x³  - 10*3*x² + 36*2*x = 4x³-30x²+72х
Корень первой производной - экстремум -
х=0 и у= -100 - минимум
Вторая производная
F" = 4*3*x² - 30*2*x+72 = 12*x²-60x+72.
Корни второй производной - х1 = 2 и х2 = 3.
Вогнутая - Х∈(-∞;2]∪[3;+∞)
Выпуклая - Х∈[2;3]
График прилагается.

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 - 100, мы должны вычислить вторую производную функции и проанализировать ее знаки.

Вычисление первой и второй производной

Для начала, найдем первую производную функции f(x):

f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 72x

Теперь найдем вторую производную функции f(x):

f''(x) = (f'(x))' = (4x^3 - 30x^2 + 72x)' = 12x^2 - 60x + 72

Анализ знаков второй производной

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, мы должны проанализировать знаки второй производной f''(x).

1. Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

12x^2 - 60x + 72 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = (-60)^2 - 4 * 12 * 72 = 3600 - 3456 = 144

Так как дискриминант D положителен, у нас есть два корня:

x1 = (60 + √144) / (2 * 12) = (60 + 12) / 24 = 72 / 24 = 3

x2 = (60 - √144) / (2 * 12) = (60 - 12) / 24 = 48 / 24 = 2

Таким образом, у нас есть две точки, в которых вторая производная равна нулю: x = 2 и x = 3.

2. Проанализируем знаки второй производной на интервалах между и за пределами найденных точек:

Для x < 2: Подставим значения x меньше 2 во вторую производную:

f''(x < 2) = 12x^2 - 60x + 72

Например, для x = 0:

f''(0) = 12(0)^2 - 60(0) + 72 = 72

Таким образом, на интервале x < 2 вторая производная положительна.

Для 2 < x < 3: Подставим значения x между 2 и 3 во вторую производную:

f''(2 < x < 3) = 12x^2 - 60x + 72

Например, для x = 2.5:

f''(2.5) = 12(2.5)^2 - 60(2.5) + 72 = 0

Таким образом, на интервале 2 < x < 3 вторая производная равна нулю.

Для x > 3: Подставим значения x больше 3 во вторую производную:

f''(x > 3) = 12x^2 - 60x + 72

Например, для x = 4:

f''(4) = 12(4)^2 - 60(4) + 72 = 96 - 240 + 72 = -72

Таким образом, на интервале x > 3 вторая производная отрицательна.

Промежутки выпуклости и точки перегиба

Исходя из анализа знаков второй производной f''(x), мы можем сделать следующие выводы:

- На интервале x < 2 функция f(x) выпукла вверх. - На интервале 2 < x < 3 у функции f(x) есть точка перегиба. - На интервале x > 3 функция f(x) выпукла вниз.

Таким образом, мы можем найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x) = x^4 - 10x^3 + 36x^2 - 100:

- Промежуток выпуклости вверх: (-∞, 2) - Точка перегиба: x = 2 - Промежуток выпуклости вниз: (2, 3) - Точка перегиба: x = 3 - Промежуток выпуклости вверх: (3, +∞)

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.