Question

Помогите решить задачу по математике, 11 класс. Точка движется прямолинейно с ускорением а=4t^2+2. Найдите закон её движения, если в момент времени t=0, её скорость v=3м/с, а путь S=6м.

Answer 1

S'(t)=V(t)
V'(t)=a(t)  -физический смысл производной
v(t)=∫(4t²+2)dt=4$\frac{t^{3} }{3}$+2t+c
v(0)=3, значит подставив эти значения получаем 3=0+0+с, с=3
V(t)=4$\frac{t^{3} }{3}$+2t+3
s(t)=∫v(t)
s(t)=∫(4$\frac{t^{3} }{3}$+2t+3)dt=$\frac{4}{3} * \frac{ t^{4} }4} + \frac{2 t^{2} }{2} +3t+c= \frac{ t^{4}}{3} + t^{2} +3t+c$ s(0)=6, знач          0+0+0+с=6 и с=6   S(t)=  \frac{ t^{4}}{3} + t^{2} +3t+6   

Answer 2

Для нахождения закона движения точки с ускорением \(a = 4t^2 + 2\), начнем с определения связи между ускорением, скоростью и путем.

Известно, что ускорение — это производная скорости по времени, то есть \(a = \frac{dv}{dt}\). Давайте найдем скорость, зная ускорение:

\[a = \frac{dv}{dt} = 4t^2 + 2\]

Теперь проинтегрируем это уравнение по времени, чтобы найти выражение для скорости:

\[v = \int (4t^2 + 2) \, dt\]

\[v = \frac{4}{3}t^3 + 2t + C_1\]

где \(C_1\) — постоянная интегрирования.

Теперь, учитывая, что в момент времени \(t = 0\) скорость равна \(3 \, \text{м/с}\), подставим это значение и найдем \(C_1\):

\[3 = \frac{4}{3}(0)^3 + 2(0) + C_1\]

\[C_1 = 3\]

Теперь у нас есть выражение для скорости:

\[v = \frac{4}{3}t^3 + 2t + 3\]

Теперь найдем зависимость пути от времени. Скорость — это производная пути по времени: \(v = \frac{ds}{dt}\). Интегрируем это уравнение, чтобы найти выражение для пути:

\[v = \frac{ds}{dt} = \frac{4}{3}t^3 + 2t + 3\]

\[ds = \int \left(\frac{4}{3}t^3 + 2t + 3\right) \, dt\]

\[s = \frac{1}{3}t^4 + t^2 + 3t + C_2\]

где \(C_2\) — вторая константа интегрирования.

Теперь у нас есть выражение для пути:

\[s = \frac{1}{3}t^4 + t^2 + 3t + C_2\]

Известно также, что в момент времени \(t = 0\) путь равен \(S = 6 \, \text{м}\). Подставим это значение и найдем \(C_2\):

\[6 = \frac{1}{3}(0)^4 + (0)^2 + 3(0) + C_2\]

\[C_2 = 6\]

Таким образом, закон движения точки с ускорением \(a = 4t^2 + 2\) выражается следующим образом:

\[s = \frac{1}{3}t^4 + t^2 + 3t + 6\]