Question

Дифференцирование. подскажите пожалуйста как правильно найти производные функции, не пользуясь правилом Лопиталя. y=sinx^arctgx=?

Answer 1

Правило Лопиталя не относится к производным, это правило для раскрытия неопределенностей.
что касается производной
логарифмируем сначала
lny=arctgxlnsinx
y'/y=cosx/sinx*arctgx+1/(1+x^2)lnsinx=ctgx*arctgx+lnsinx/(1+x^2)
y'=sinx^arctgx(ctgx*arctgx+lnsinx/(1+x^2))  !знаменатель не под логарифмом

поставьте лучшее, если можно.

Answer 2

Надо использовать логарифмирование
y=sinx^arctgx
ln(y)=ln(sinx^arctgx)
ln(y)=arctg(x)*ln(sinx)
y`/y=cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx)
y`=y*(cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx))
y`=sinx^arctgx(cos(x)*arctg(x)/sin(x)+(1/(1+x^2)*ln(sinx))

Answer 3

Для нахождения производной функции y = sin(x^arctan(x)) без использования правила Лопиталя, мы можем применить правила дифференцирования элементарных функций и цепного правила.

Нахождение производной функции y = sin(x^arctan(x)):

1. Применим цепное правило для нахождения производной внутренней функции arctan(x): - Пусть u = x^arctan(x). - Тогда u' = (arctan(x))' * (x^arctan(x))'. - Производная (arctan(x))' можно найти с помощью правила дифференцирования для arctan(x). - Производная (x^arctan(x))' можно найти с помощью правила дифференцирования для x^u.

2. Найдем производные внутренних функций: - Производная (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2) [[1]]. - Производная (x^arctan(x))' = arctan(x) * x^(arctan(x) - 1) + x^arctan(x) * ln(x) / (1 + x^2) [[2]].

3. Подставим найденные производные в цепное правило: - u' = (1 / (1 + x^2)) * (arctan(x) * x^(arctan(x) - 1) + x^arctan(x) * ln(x) / (1 + x^2)). - Теперь у нас есть производная внутренней функции u.

4. Применим правило дифференцирования для sin(u): - Пусть y = sin(u). - Тогда y' = (sin(u))' = cos(u) * u'.

5. Подставим значение производной внутренней функции u и получим окончательный результат: - y' = cos(x^arctan(x)) * (1 / (1 + x^2)) * (arctan(x) * x^(arctan(x) - 1) + x^arctan(x) * ln(x) / (1 + x^2)).

Таким образом, производная функции y = sin(x^arctan(x)) равна cos(x^arctan(x)) * (1 / (1 + x^2)) * (arctan(x) * x^(arctan(x) - 1) + x^arctan(x) * ln(x) / (1 + x^2)).

Пожалуйста, обратите внимание, что это только один из возможных способов нахождения производной данной функции. Существуют и другие методы, которые могут быть использованы для решения этой задачи.