Question

Футболист забивает гол в ворота противника с 2-метрового штрафного удара с вероятностью 0,8 .Что вероятнее ожидать : не менше трёх голов при четырёх ударах или не меньше четырех голов при шести ударах??

Answer 1

Вероятнее всего при шести ударах должно быть забито не меньше 4 мячей. так как при 6 ударах может быть забито 5 мячей.

Answer 2

Вероятность забить гол с 2-метрового штрафного удара

Если футболист имеет вероятность забить гол с 2-метрового штрафного удара равную 0,8, то это означает, что в среднем он забивает 8 из 10 таких ударов.

Вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах

Чтобы определить вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах, мы можем использовать биномиальное распределение. Формула для этого распределения выглядит следующим образом:

P(X >= k) = 1 - P(X < k)

где P(X >= k) - вероятность получить не менее k успехов, P(X < k) - вероятность получить менее k успехов.

В данном случае, k = 3 (не менее трех голов), n = 4 (четыре удара), и p = 0,8 (вероятность забить гол).

Вычислим вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах:

P(X >= 3) = 1 - P(X < 3)

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где C(n, k) - количество сочетаний из n по k.

Вычислим:

P(X = 0) = C(4, 0) * 0,8^0 * (1-0,8)^(4-0) = 1 * 1 * 0,2^4 = 0,2^4 = 0,0016

P(X = 1) = C(4, 1) * 0,8^1 * (1-0,8)^(4-1) = 4 * 0,8 * 0,2^3 = 0,0512

P(X = 2) = C(4, 2) * 0,8^2 * (1-0,8)^(4-2) = 6 * 0,8^2 * 0,2^2 = 0,1536

P(X < 3) = 0,0016 + 0,0512 + 0,1536 = 0,2064

P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - 0,2064 = 0,7936

Таким образом, вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах составляет 0,7936.

Вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах

Аналогично, чтобы определить вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах, мы можем использовать биномиальное распределение.

В данном случае, k = 4 (не менее четырех голов), n = 6 (шесть ударов), и p = 0,8 (вероятность забить гол).

Вычислим вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах:

P(X >= 4) = 1 - P(X < 4)

P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Вычислим:

P(X = 0) = C(6, 0) * 0,8^0 * (1-0,8)^(6-0) = 1 * 1 * 0,2^6 = 0,2^6 = 0,000064

P(X = 1) = C(6, 1) * 0,8^1 * (1-0,8)^(6-1) = 6 * 0,8 * 0,2^5 = 0,001536

P(X = 2) = C(6, 2) * 0,8^2 * (1-0,8)^(6-2) = 15 * 0,8^2 * 0,2^4 = 0,009216

P(X = 3) = C(6, 3) * 0,8^3 * (1-0,8)^(6-3) = 20 * 0,8^3 * 0,2^3 = 0,027648

P(X < 4) = 0,000064 + 0,001536 + 0,009216 + 0,027648 = 0,038464

P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - 0,038464 = 0,961536

Таким образом, вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах составляет 0,961536.

Вывод

Вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах составляет 0,7936, в то время как вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах составляет 0,961536. Таким образом, вероятность забить не менее четырех голов при шести ударах выше, чем вероятность забить не менее трех голов при четырех ударах.