Question

Интеграл dx / (sin^2(x) - 5sin(x)cos(x))

Answer 1

$\large \int \frac{dx}{sin^2x-5sinxcosx}=\int\frac{dx}{sin^2x(1-5ctgx)}=\frac{1}{5}\int\frac{d(1-5ctgx)}{1-5ctgx}=\\=\frac{1}{5}ln|1-5ctgx|+C$

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(sin^2(x) - 5sin(x)cos(x)) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Для этого, мы выбираем функцию u и ее производную du, и функцию v, и ее производную dv, таким образом, чтобы получить новый интеграл, который будет проще интегрировать.

Давайте выберем u = sin(x), и dv = sin(x) - 5cos(x) dx. Тогда, du = cos(x) dx, и v = -cos(x) - 5sin(x).

Теперь, мы можем использовать формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du для нашего интеграла.

∫(sin^2(x) - 5sin(x)cos(x)) dx = -sin(x)(-cos(x) - 5sin(x)) - ∫(-cos(x) - 5sin(x)) cos(x) dx

= sin(x)cos(x) + 5sin^2(x) + ∫cos^2(x) dx + 5∫sin(x)cos(x) dx

Теперь, мы можем заменить ∫cos^2(x) dx и ∫sin(x)cos(x) dx с помощью известных тригонометрических тождеств.

Тригонометрическое тождество cos^2(x) = 1/2 + 1/2cos(2x) позволяет нам заменить ∫cos^2(x) dx:

∫cos^2(x) dx = ∫(1/2 + 1/2cos(2x)) dx = 1/2∫dx + 1/2∫cos(2x) dx = 1/2x + 1/4sin(2x) + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Тригонометрическое тождество sin(x)cos(x) = 1/2sin(2x) позволяет нам заменить ∫sin(x)cos(x) dx:

∫sin(x)cos(x) dx = 1/2∫sin(2x) dx = -1/4cos(2x) + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Подставляя эти значения в исходный интеграл, получаем:

∫(sin^2(x) - 5sin(x)cos(x)) dx = sin(x)cos(x) + 5sin^2(x) + 1/2x + 1/4sin(2x) - 1/4cos(2x) + C,

где C = C1 + C2 - постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫(sin^2(x) - 5sin(x)cos(x)) dx равен sin(x)cos(x) + 5sin^2(x) + 1/2x + 1/4sin(2x) - 1/4cos(2x) + C.