Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^4/4 - 8x^2

Answer 1

Y' = -x^3-16x
-x( x^2 + 16) = 0
x1 = 0, x2 = 4, x3 = -4
yнаим = 4
yнаиб =  -4

Answer 2

Для поиска наибольшего и наименьшего значения функции y = x^4/4 - 8x^2, мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Давайте посмотрим, как это сделать.

Нахождение экстремумов функции

1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции по отдельности и применим правила дифференцирования:

y = x^4/4 - 8x^2

y' = (1/4) * d/dx(x^4) - d/dx(8x^2)

y' = (1/4) * 4x^3 - 16x

y' = x^3 - 16x

2. Чтобы найти экстремумы функции, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

x^3 - 16x = 0

x * (x^2 - 16) = 0

x * (x - 4)(x + 4) = 0

Решение этого уравнения даёт нам три значения x: x = 0, x = 4 и x = -4.

3. Теперь нам нужно определить, являются ли эти значения максимумами или минимумами. Для этого мы можем использовать вторую производную.

Возьмем вторую производную функции y:

y'' = d^2/dx^2(x^3 - 16x)

y'' = d/dx(3x^2 - 16)

y'' = 6x

4. Теперь подставим значения x = 0, x = 4 и x = -4 во вторую производную и определим знаки:

y''(0) = 6 * 0 = 0 y''(4) = 6 * 4 = 24 y''(-4) = 6 * (-4) = -24

Из знаков второй производной мы можем сделать вывод, что x = 4 является минимумом, а x = -4 является максимумом.

Определение значений функции

Теперь, когда мы знаем значения x, соответствующие экстремумам функции, мы можем вычислить значения y.

Подставим x = 0 в функцию:

y(0) = (0^4)/4 - 8(0^2) = 0

Подставим x = 4 в функцию:

y(4) = (4^4)/4 - 8(4^2) = 64/4 - 8(16) = 16 - 128 = -112

Подставим x = -4 в функцию:

y(-4) = (-4^4)/4 - 8(-4^2) = 256/4 - 8(16) = 64 - 128 = -64

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^4/4 - 8x^2 равно 0 и достигается при x = 0, а наименьшее значение равно -112 и достигается при x = 4.