Question

Дана последовательность an=32n-5n^2+7.Сколько в ней положительных членов?найдите наибольший член последовательности.

Answer 1

Для нахождения количества положительных членов последовательности решим неравенство.

$32n-5n^2+7>0,\; n\in\mathbb{Z}\\ 5n^2-32n-7=0\\ D=1164\approx34,1\\ n_1=\left[-0,21\right]=0\\ n_2=\left[6,61\right]=6\\n\in[0;6]$

Квадратные скобки означают, что от числа берётся целая часть, дробная отбрасывается.

То есть, в последовательности 7 положительных членов. Найдём их все:

n=0, an = 7

n=1, an = 34

n=2, an = 51

n=3, an = 58

n=4, an = 55

n=5, an = 42

n=6, an = 19

Наибольший член последовательности равен 58 при n=3.

 

Если Вы уже изучали производные, то наибольший член последовательности можно найти по-другому:

1. Взять производную от данной функции.

2. Приравнять производную нулю и найти n (также отбросив дробную часть от целой).

n = [3,2] = 3.

3. Подставить n=3 в функцию и найти наибольшее значение.

Answer 2

Для данной последовательности an = 32n - 5n^2 + 7, нам нужно найти количество положительных членов и наибольший член последовательности.

Количество положительных членов

Чтобы определить количество положительных членов, мы можем проанализировать выражение an и найти значения n, при которых an > 0.

an = 32n - 5n^2 + 7

Для того, чтобы найти значения n, при которых an > 0, мы можем решить неравенство:

32n - 5n^2 + 7 > 0

Для решения этого неравенства, нам нужно найти корни уравнения 32n - 5n^2 + 7 = 0. Затем мы можем проверить значения между корнями, чтобы определить, когда выражение больше нуля.

Корни уравнения можно найти, используя квадратное уравнение:

-5n^2 + 32n + 7 = 0

Для нахождения корней, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = -5, b = 32 и c = 7

D = (32)^2 - 4(-5)(7) = 1024 + 140 = 1164

Теперь, используя формулу корней квадратного уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a)

n = (-32 ± √1164) / (2(-5))

Таким образом, у нас есть два корня:

n1 = (-32 + √1164) / (-10) n2 = (-32 - √1164) / (-10)

Определим значения между этими корнями, чтобы найти значения n, при которых an > 0.

n1 ≈ 8.51 n2 ≈ -0.18

Мы видим, что у нас есть положительные значения для n1, когда n > 8.51. Однако, последовательность an определена только для целых значений n. Таким образом, количество положительных членов в последовательности равно количеству целых значений n, больших 8.51. Поскольку последовательность определена только для целых значений n, мы можем округлить 8.51 до 9.

Таким образом, количество положительных членов в последовательности равно количеству целых значений n, больших или равных 9.

Наибольший член последовательности

Чтобы найти наибольший член последовательности, мы можем вычислить значение an для различных значений n и найти максимальное значение.

an = 32n - 5n^2 + 7

Давайте вычислим значения an для нескольких значений n:

n = 1: a1 = 32(1) - 5(1)^2 + 7 = 32 - 5 + 7 = 34 n = 2: a2 = 32(2) - 5(2)^2 + 7 = 64 - 20 + 7 = 51 n = 3: a3 = 32(3) - 5(3)^2 + 7 = 96 - 45 + 7 = 58 n = 4: a4 = 32(4) - 5(4)^2 + 7 = 128 - 80 + 7 = 55 n = 5: a5 = 32(5) - 5(5)^2 + 7 = 160 - 125 + 7 = 42

Мы видим, что наибольший член последовательности равен 58.

Таким образом, в данной последовательности есть положительных членов столько, сколько целых значений n больше или равных 9, а наибольший член последовательности равен 58.