Question

На районной олимпиаде по математике оказалось шесть победителей. Однако на областную олимпиаду можно отправить только двоих. а) Сколько существует вариантов выбора двух кандидатов? Подсказка. Дайте каждому победителю номер от 1 до 6. б) Сколько существует вариантов, если один из шести ребят признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде?

Answer 1

$1) C_6^2= \frac{6!}{2!(6-2)!}= \frac{5*6}{1*2}=15$
Ответ: 15 способов

Если вы учитесь в младшем классе и ещё не знакомы с комбинаторикой, то решение (если пронумеровать участников) может выглядеть так:
                1     2   3   4    5   6
1              -   12 13  14  15 16
2            21   -   23  24  25 26
3            31  32  -    34  35 36
4            41  42  43  -    45  46
5            51  52  53  54  -    56
6            61  62  63  64  65  -

Теперь, убираем все повторы и получаем 15 способов


2) Если один уже признан лучшим и он обязательно будет участвовать в областной олимпиаде, то у на остаётся 5 участников, из которых надо выбрать одного. Существует всего 5 способов выбрать одного из пяти.
Ответ: 5 способов.

Answer 2

Давайте рассмотрим оба вопроса:

а) Сначала определим количество вариантов выбора двух кандидатов из шести. Это можно сделать с использованием биномиального коэффициента "C(n, k)", где "n" - общее количество элементов, "k" - количество элементов, которые мы выбираем.

\[C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15.\]

Таким образом, существует 15 вариантов выбора двух кандидатов из шести.

б) Если один из шести ребят уже признан лучшим и обязательно участвует в областной олимпиаде, то нам нужно выбрать ещё одного человека из оставшихся пятерых.

\[C(5, 1) = 5.\]

Таким образом, существует 5 вариантов выбора второго кандидата, если один из шести ребят обязательно участвует в областной олимпиаде.

Итак, ответы на ваши вопросы: а) Существует 15 вариантов выбора двух кандидатов из шести. б) Существует 5 вариантов выбора второго кандидата, если один из шести ребят обязательно участвует в областной олимпиаде.