Question

Образует ли заданное множество векторов с естественными операциями сложения и умножения на число линейное пространство? 1) Множество всех векторов на плоскости, коллинеарных заданной прямой.

Answer 1

Вопрос очень сложный, ибо в нём затрагиваются понятия высшей математики из области теории групп.

Вообще, по определению: векторное (или тоже самое - линейное) пространство - математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр (оно может быть любым, из любого поля: натуральное число, либо комплексное, либо вообще тензором).

Эти две операции подчинены восьми аксиомам. Если не затрагивать понятия об абелевой группе, и о доказательстве единственности, то можно рассмотреть простое понятие размерности пространства:

Главная характеристика векторного пространства - его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр.

Векторы $x_{1}, x_{2},..., x_{n}$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:
$a_{1}*x_{1}+a_{2}*x_{2}+...+a_{n}*x_{n}=0, |a_{1}|+|a_{2}|+...+|a_{n}| \neq 0$
В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Далее можно обратиться к понятиям о ранге (размерности - $dim$) пространства. 
Число элементов максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Грубо говоря, это количество элементов, которые невозможно выразить через другие векторы.

Можно рассмотреть примеры:
$(1,1,1)=1*(1,0,0)+1*(0,1,0)+1*(0,0,1)$
Вектор $(1,1,1)$ - есть линейная комбинация этих 3-х векторов.
Но эти три вектора при не всех нулевых коэффициентах не могут дать нулевой вектор, значит это линейно независимые вектора. Они образуют базис. Они есть ни что иное, как обычное евклидово пространство (орты $i,j,k$).

Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество - базисом.

В данном случае, мы имеем прямую и коллинеарные ей вектора. Применим всё то, о чём писалось выше. Мы получаем, что любой вектор выражается через другие вектора (можно проверить на собственных примерах, ведь само понятие о коллинеарности говорит об этом). Значит мы имеем размерность пространства - 1. Утверждение верно.

Более строгая проверка - это проверить все аксиомы на этих векторах:
1) $x+y=y+x$;
2) $(x+y)+z=x+(y+z)$;
3) ∃θ ∈ ℝ : ∀x ∈ ℝ ⇒ x+θ = x;
4) ∀x ∈ ℝ ∃ -x ∈ ℝ : x+(-x) = θ;
5) α(x+y) = αx+αy;
6) (α+β)x = αx+βx;
7) α(βx) = (αβ)x;
8) 1*x = x;

(θ - это 0).

Их названия я не писал, чтобы окончательно не запутаться.

Первые 4-е аксиомы рассматриваются в средней школе (свойства векторов - сложение).
Вторые 4-е аксиомы рассматриваются тоже в средней школе, но чуточку позже (свойства векторов - умножение).
Все они верны для векторов.

НО: к чему я писал о размерности - да, у нас вектора на плоскости, но они могут быть и в евклидовом (3-х мерном  и третья координата - 0). 

Answer 2

Да, заданное множество векторов на плоскости, коллинеарных заданной прямой, образует линейное пространство.

Для того чтобы проверить, является ли данное множество линейным пространством, нужно проверить выполнение всех аксиом линейного пространства.

1. Закон сложения векторов: Для любых двух векторов из заданного множества, их сумма также будет лежать в данном множестве. Это следует из того, что коллинеарные векторы имеют одинаковое направление и могут быть представлены как масштабирование одного и того же вектора.

2. Закон умножения вектора на число: Для любого вектора из заданного множества и любого числа, произведение вектора на число также будет лежать в данном множестве. Это также следует из того, что коллинеарные векторы имеют одинаковое направление и могут быть масштабированы.

3. Аксиома коммутативности сложения: Сложение векторов коммутативно, то есть порядок слагаемых не имеет значения. Это также выполняется для коллинеарных векторов.

4. Аксиома ассоциативности сложения: Сложение векторов ассоциативно, то есть результат сложения не зависит от порядка слагаемых. Это также выполняется для коллинеарных векторов.

5. Существование нулевого вектора: В данном множестве существует нулевой вектор, который представляет собой коллинеарный вектор с нулевой длиной.

6. Существование противоположного вектора: Для любого вектора из заданного множества существует противоположный вектор, который представляет собой коллинеарный вектор с противоположным направлением.

Таким образом, множество всех векторов на плоскости, коллинеарных заданной прямой, образует линейное пространство.