Question

Найти точки перегиба функции y=x^4 - 12x^3 + 48x^2 -50

Answer 1

находим вторую производную

4x^3-36x^2+96x

12x^2-72x+96=0

x^2-6x+8=0

x1=4

x2=2

 

y(2)=16-96+192-50=62

y(4)=256-768+768-50=206

Answer 2

Для нахождения точек перегиба функции y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50, мы должны найти значения x, где вторая производная функции равна нулю или не существует. Точки перегиба указывают на изменение выпуклости или вогнутости функции.

Нахождение второй производной

Сначала найдем первую производную функции, а затем найдем вторую производную.

Пусть f(x) = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50.

Нахождение первой производной

Чтобы найти первую производную функции f(x), возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

f'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x

Нахождение второй производной

Теперь возьмем производную от первой производной, чтобы найти вторую производную функции:

f''(x) = 12x^2 - 72x + 96

Нахождение точек перегиба

Теперь найдем значения x, при которых вторая производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

12x^2 - 72x + 96 = 0

Это квадратное уравнение и мы можем решить его, используя квадратное уравнение. Решая это уравнение, мы получаем два значения x:

x = 2 и x = 4

Определение выпуклости или вогнутости

Для определения выпуклости или вогнутости функции в точках перегиба, мы можем проанализировать знак второй производной в окрестности этих точек.

Подставляя значения x = 2 и x = 4 во вторую производную функции, мы получаем:

f''(2) = 12(2)^2 - 72(2) + 96 = 0 f''(4) = 12(4)^2 - 72(4) + 96 = 96

Знак второй производной f''(2) равен нулю, что указывает на точку перегиба. Знак второй производной f''(4) положительный, что означает, что функция выпукла в этой точке.

Ответ

Таким образом, точка перегиба функции y = x^4 - 12x^3 + 48x^2 - 50 находится при x = 2, и функция выпукла в этой точке.