Question

1)В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC и CA в точках P, Q и R. Найдите CR, если AB=68 см, BC=85 см, CA=139 см. 2)В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. Найдите ⌣AC, если ∠A = 30

Answer 1

2. 
∠В=∠С=(180-30):2=150:2=75
АС=75х2=150

или можно еще так решить 
ВС = 30х2=60 
АС=АВ=(360-60):2=300:2=150

Answer 2

Дано: треуг. АВС, окр (О; R)- вписана, AB = 10см, BC = 12 см, CA = 5см
Найти: AP, PB, BQ, QC, CR, RA.
Решение:
PE=BQ, QC=CR, AR=AP (по св-ву касательных отрезков)
Пусть РВ = х, тогда QC= 12-х, АР= 10-х
AR+RС=5
12-х+10-х=5
х=8,5
PE=BQ=8,5 см,
QC=CR=3,5 см,

Answer 3

1) Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной окружности треугольника. Известно, что точка касания окружности со стороной треугольника является точкой деления этой стороны пополам. Таким образом, AP = BP, BQ = CQ и CR = AR.

Из условия задачи известны длины сторон треугольника ABC: AB = 68 см, BC = 85 см, CA = 139 см. Для начала найдем полупериметр треугольника ABC:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (68 + 85 + 139) / 2 = 292 / 2 = 146 см.

Затем найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)) = √(146 * (146 - 68) * (146 - 85) * (146 - 139)) ≈ √(146 * 78 * 61 * 7) ≈ √(532,668) ≈ 23.07 см².

Теперь найдем радиус вписанной окружности, используя формулу для площади треугольника:

r = S / p = 23.07 / 146 ≈ 0.158 см.

Так как точка касания окружности со стороной треугольника делит ее пополам, то AP = BP = 0.158 см и BQ = CQ = 0.158 см. Также, так как окружность касается стороны CA в точке R, то CR = AR = 0.158 см.

Таким образом, CR = 0.158 см.

2) В данной задаче требуется найти длину отрезка AC в равнобедренном треугольнике ABC, если известно, что ∠A = 30 градусов.

Из свойств равнобедренного треугольника известно, что медиана, проведенная из вершины угла A, является высотой и биссектрисой этого треугольника. Так как медиана является высотой, она перпендикулярна к основанию треугольника. Также, так как медиана является биссектрисой, она делит угол A пополам.

Из свойств треугольника известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. Так как ∠A = 30 градусов, то сумма ∠B и ∠C равна 180 - 30 = 150 градусов. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠B = ∠C = (180 - 150) / 2 = 15 градусов.

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями в равнобедренном треугольнике. Известно, что тангенс угла, равного половине основного угла, равен отношению половины основания к высоте.

Тангенс угла ∠B равен отношению половины основания BC к высоте AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то BC = AC. Таким образом, тангенс угла ∠B равен отношению половины основания AC к высоте AC.

Тангенс угла ∠B = tan(15) ≈ 0.2679.

Теперь найдем половину основания AC:

0.2679 = (AC / 2) / AC = 1 / 2.

Отсюда следует, что AC = 2.

Таким образом, AC = 2.