Question

Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить как сумму двух натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых найдутся две одинаковые цифры рядом. (Например, число 1031 не подходит, так как 1031 = 700 + 331.)

Answer 1

Будем строить нужное представление в виде суммы двух чисел так. Вычтем по порядку из исходного числа 0, 11, 22, 33, ..., 99. Пусть результат ...xyz, и он получился при вычитании kk. Тогда если k = 0 и ...x > y или k > 0 и ...x >= y, то удовлетворяет условию разложение (...x - y)kk + yyz.
(Поясняющий пример: пусть исходное число 407. Тогда разности равны 407, 396, 385, 374, 363, 352, 341, 330, 319, 308. Выбираем 319 = 407 - 88. Разложение имеет вид 119 + 288)

Ничего не выйдет, если при любом k выходит, что ...x < y.
Заметим, что y пробегает все цифры 0, 1, ..., 9, кроме одной. y = 1 пропускается, если число больше 99 и даёт остаток 10 при делении на 11. 
* Если число даёт остаток 10 при делении на 11 и оно больше 208, то либо среди разностей есть 219 (для чисел от 219 до 318), или все разности не меньше 329 - 99 = 230. В последнем случае подойдёт такое k, при котором ...xyz = ...x2z.
* Если число дает остаток не 10 при делении на 11 и оно больше 208, то любая разность не меньше 209 - 99 = 110, подойдет такое k, при котором ...xyz = ...x1z.

Итак, для любого числа, большего 208, требуемое представление находится. Легко проверить, что для 208 такого представления нет. Поэтому

Ответ. 208.

Answer 2

Для решения этой задачи нужно приступить к анализу всех натуральных чисел и найти такое число, которое нельзя представить как сумму двух натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых найдутся две одинаковые цифры рядом.

Давайте начнем с самого простого случая, когда числа представляются однозначными. В этом случае вариантов не так много, и мы можем легко проверить каждое число от 1 до 9. Поскольку условие задачи требует, чтобы в десятичной записи каждого числа были две одинаковые цифры рядом, мы можем исключить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, так как они не удовлетворяют этому условию.

Теперь давайте перейдем к двузначным числам. В этом случае нам надо рассмотреть все возможные комбинации двухзначных чисел. Мы можем начать с числа 10 и проверить все числа до 99. Но это займет много времени и неэффективно.

Вместо этого давайте рассмотрим все возможные двузначные числа и проверим, можно ли представить их в виде суммы двух натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых найдутся две одинаковые цифры рядом. Если мы найдем такое число, которое нельзя представить таким образом, то это и будет наибольшее искомое число.

Начнем с 10. Мы можем записать это число в виде 10 = 1 + 9. Оба числа 1 и 9 удовлетворяют условию задачи, так как у них есть две одинаковые цифры рядом (1 и 9 соответственно).

Затем рассмотрим число 11. Мы можем записать это число в виде 11 = 1 + 10. Оба числа 1 и 10 удовлетворяют условию задачи, так как у них есть две одинаковые цифры рядом (1 и 0 соответственно).

Продолжая этот процесс, мы можем перебрать все возможные двузначные числа и увидеть, что все они могут быть представлены в виде суммы двух натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, мы не можем найти число, которое нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, в десятичной записи каждого из которых найдутся две одинаковые цифры рядом.