Question

Точка S удалена от плоскости треугольника ABC на 4 см и равноудалена от его вершин; AB=BC=AC=9см. Отрезок SA равен : 1) √50см 2)7 см 3)√43см 4) 10 см

Answer 1

Точка S удалена от каждой из вершин правильного треугольника ABC на корень квадратный из 13 см. Найдите двугранный угол SABC, если AB=6см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами высоты треугольника.

Пусть \(S\) — точка, удаленная на 4 см от плоскости треугольника \(ABC\), и равноудаленная от его вершин. Также известно, что \(AB = BC = AC = 9\) см.

Поскольку точка \(S\) равноудалена от вершин треугольника, она находится в центре описанной окружности этого треугольника. По свойствам центра описанной окружности, расстояние от центра окружности до середины стороны треугольника равно радиусу окружности.

Таким образом, \(SA\) — это радиус описанной окружности. Рассмотрим треугольник \(ABC\) и его центр описанной окружности \(O\). Треугольник \(ABC\) — равносторонний, и мы знаем, что высота проходит через вершину и делит основание пополам, поэтому высота также является медианой и биссектрисой.

Таким образом, \(O\) — это точка пересечения медиан и биссектрис треугольника, а также центр описанной окружности.

Поскольку треугольник равносторонний, медиана также является высотой. Высота разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника. Пусть \(M\) — середина стороны \(BC\), тогда \(AM\) — медиана и высота. Треугольник \(AMO\) — прямоугольный треугольник, где \(AO\) — радиус описанной окружности, а \(AM\) — половина стороны треугольника \(BC\).

Используем теорему Пифагора в треугольнике \(AMO\):

\[ AO^2 = AM^2 + MO^2 \]

Так как \(AB = AC = 9\) см, то \(BM = CM = \frac{9}{2}\) см, и \(AM = \frac{9}{2}\) см. Также, \(MO = \frac{4}{2} = 2\) см.

Теперь подставим известные значения:

\[ AO^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 2^2 \]

\[ AO^2 = \frac{81}{4} + 4 \]

\[ AO^2 = \frac{81 + 16}{4} \]

\[ AO^2 = \frac{97}{4} \]

\[ AO = \frac{\sqrt{97}}{2} \]

Таким образом, длина отрезка \(SA\) равна \(AO\), то есть:

\[ SA = \frac{\sqrt{97}}{2} \]

Так что правильный ответ — \(\frac{\sqrt{97}}{2}\) см. Ответ 3): \(\frac{\sqrt{97}}{2}\) см.