Question

Помогите найти область сходимости ряда:(((x-5)^n)*2^n)/n^3

Answer 1

Степенной ряд вида a(n)(cx-x0)^dn
a(n)=2^n/n^3  x0=5 d=1  c=1
R=lim(x→§)((2^n*(n+1)^3)/2^(n+1)*n^3=6

Answer 2

Для определения области сходимости данного ряда необходимо использовать признак Даламбера или признак Коши. Оба признака позволяют определить, при каких значениях переменной ряд сходится, и при каких расходится.

Признак Даламбера

Признак Даламбера гласит, что если существует такое число d, что предел отношения абсолютных значений соседних элементов ряда равен d, и d меньше 1, то ряд сходится. Если d больше 1, то ряд расходится. Если d равно 1, то признак Даламбера не дает определенного результата и не может быть использован.

В нашем случае, ряд имеет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(x-5)^n \cdot 2^n}}{{n^3}} \]

Для применения признака Даламбера, рассмотрим отношение абсолютных значений соседних элементов ряда:

\[ \frac{{\left| \frac{{(x-5)^{n+1} \cdot 2^{n+1}}}{{(n+1)^3}} \right|}}{{\left| \frac{{(x-5)^n \cdot 2^n}}{{n^3}} \right|}} \]

Упрощая данное выражение, получим:

\[ \frac{{|(x-5)^{n+1} \cdot 2^{n+1}|}}{{|(x-5)^n \cdot 2^n|}} \cdot \frac{{n^3}}{{(n+1)^3}} \]

\[ \frac{{|(x-5)(x-5)^n \cdot 2 \cdot 2^n|}}{{|(x-5)^n \cdot 2^n|}} \cdot \frac{{n^3}}{{(n+1)^3}} \]

\[ |x-5| \cdot \frac{{2 \cdot n^3}}{{(n+1)^3}} \]

Теперь рассмотрим предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности:

\[ \lim_{{n \to \infty}} |x-5| \cdot \frac{{2 \cdot n^3}}{{(n+1)^3}} \]

\[ |x-5| \cdot \lim_{{n \to \infty}} \frac{{2 \cdot n^3}}{{(n+1)^3}} \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot \lim_{{n \to \infty}} \left( \frac{{n}}{{n+1}} \right)^3 \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot \left( \lim_{{n \to \infty}} \frac{{n}}{{n+1}} \right)^3 \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot 1^3 \]

\[ |x-5| \cdot 2 \]

Таким образом, признак Даламбера гласит, что ряд сходится, если предел выражения \( |x-5| \cdot 2 \) меньше 1, и расходится, если предел больше 1. Если предел равен 1, признак Даламбера не дает определенного результата.

Признак Коши

Признак Коши гласит, что если существует такое число d, что корень n-й степени от абсолютного значения элемента ряда стремится к d при n стремящемся к бесконечности, и d меньше 1, то ряд сходится. Если d больше 1, то ряд расходится. Если d равно 1, то признак Коши не дает определенного результата и не может быть использован.

В нашем случае, ряд имеет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{{(x-5)^n \cdot 2^n}}{{n^3}} \]

Для применения признака Коши, рассмотрим корень n-й степени от абсолютного значения элемента ряда:

\[ \left( \frac{{|(x-5)^n \cdot 2^n|}}{{n^3}} \right)^{\frac{1}{n}} \]

Упрощая данное выражение, получим:

\[ \left( \frac{{|(x-5)^n \cdot 2^n|}}{{n^3}} \right)^{\frac{1}{n}} \]

\[ \left( |x-5|^n \cdot 2^n \right)^{\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{n}}} \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{n}}} \]

Теперь рассмотрим предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности:

\[ \lim_{{n \to \infty}} |x-5| \cdot 2 \cdot \frac{1}{n^{\frac{3}{n}}} \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n^{\frac{3}{n}}} \]

\[ |x-5| \cdot 2 \cdot 0 \]

\[ 0 \]

Таким образом, признак Коши гласит, что ряд сходится, если предел выражения \( 0 \) меньше 1, и расходится, если предел больше 1. Если предел равен 1, признак Коши не дает определенного результата.

Вывод

Используя признаки Даламбера и Коши, мы можем сделать следующие выводы: - При \( |x-5| \cdot 2 < 1 \), ряд сходится. - При \( |x-5| \cdot 2 > 1 \), ряд расходится. - При \( |x-5| \cdot 2 = 1 \), признаки Даламбера и Коши не дают определенного результата.

Таким образом, область сходимости данного ряда определяется неравенством \( |x-5| \cdot 2 < 1 \), то есть все значения x, для которых \( |x-5| < \frac{1}{2} \).