Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AСВ1 б) Найдите угол между плоскостями AД1С1 и А1Д1С

Answer 1

Пусть А - начало координат
Ось X -AB
Ось Y -AD
Ось Z- AA1
Координаты интересующих точек
В(1;0;0)
D1(0;1;1)
C(1;1;0)
B1(1;0;1)
C1(1;;1;1)
А1(0;0;1)
Направляющий вектор BD1 (-1;1;1)
Уравнение плоскости АСВ1
аx+by+cz=0 проходит через 0
Подставляем координаты точек
а+b=0
a+c=0
Пусть а= -1 тогда b=1 c=1
Уравнение
-x+y+z=0
Угол между BD1 и плоскостью
sin a = | -1*-1+1*1+1*1|/(√3*√3)= 1
a = 90 что и требовалось доказать

Уравнение плоскости АD1C1
a1x+b1y+c1z=0
b1+c1=0
a1+b1+c1=0
Пусть b1=1 тогда с1=-1 а=0
y-z=0

Уравнение плоскости А1D1C
a2x+b2y+c2z+d=0
c2+d=0
b2+c2+d=0
a2+b2+d=0
Пусть d=1 тогда с2= -1 b2=0 a2= -1
-x-z+1=0

cos b между плоскостями = 1/(√2*√2)=1/2
Угол b= 60 градусов

Answer 2

Дан куб ABCDA1B1C1D1. а) Докажите, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AСВ1 б) Найдите угол между плоскостями AД1С1 и А1Д1С.

Решение:

а) Чтобы доказать, что прямая BD1 перпендикулярна плоскости AСВ1, достаточно показать, что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Рассмотрим прямую AC1, которая лежит в плоскости AСВ1. Заметим, что AC1 является диагональю грани A1C1D1, а BD1 является диагональю куба. Тогда, по свойству куба, эти две диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, и образуют между собой угол 90°. Следовательно, прямая BD1 перпендикулярна прямой AC1, а значит, и плоскости AСВ1.

б) Чтобы найти угол между плоскостями AД1С1 и А1Д1С, можно использовать формулу для косинуса угла между плоскостями:

$$\cos{\alpha} = \frac{|(\vec{n_1}, \vec{n_2})|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$

где $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ - нормальные векторы к плоскостям AД1С1 и А1Д1С соответственно. Найдем эти векторы, используя векторное произведение:

$$\vec{n_1} = \vec{AD_1} \times \vec{AC_1} = (a, -a, -a) \times (-a, -a, a) = (-2a^2, -2a^2, -2a^2)$$

$$\vec{n_2} = \vec{A_1D_1} \times \vec{A_1C} = (a, a, -a) \times (a, -a, -a) = (-2a^2, -2a^2, -2a^2)$$

Тогда:

$$\cos{\alpha} = \frac{|(-2a^2, -2a^2, -2a^2) \cdot (-2a^2, -2a^2, -2a^2)|}{|(-2a^2, -2a^2, -2a^2)||(-2a^2, -2a^2, -2a^2)|} = \frac{12a^4}{12a^4} = 1$$

Отсюда следует, что $\alpha = 0°$, то есть плоскости AД1С1 и А1Д1С совпадают.

Для более подробного объяснения вы можете посмотреть [этот сайт](https://znarium.com/q/115151), [этот сайт](http://bezikev.ru/matege/zadanie-14-matematika-ege-dan-kub-abcda1b1c1d1-a-postrojte-sechenie-kuba-ploskostyu-proxodyashhej-cherez-serediny-ego-reber-ab-b1c1-ad-b-najdite-ugol-mezhdu-ploskostyu-a1bd-i-ploskostyu-p/) или [эту страницу](https://vk.com/wall-111926768_251).