Question

1 исследовать функцию на монотонность f(x)=x³-3x

Answer 1

F(x)=x³-3x
f'(x)=3x²-3
3x²-3=0
3x²=3
x²=1
x₁=1
x₂=-1
Получили 3 промежутка (-∞;-1)(-1;1)(1;+∞)
Возьмем число из первого промежутка:
f'(-2)=3*(-2)²-3=9, больше 0, функция возрастает
f'(1/2)=3*(1/4)-3 , меньше 0, функция убывает
f'(2) > 0, функция возрастает
(-∞;-1) - возрастает
(-1;1) - убывает
(1;+∞) - возрастает 

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x³ - 3x на монотонность, мы должны проанализировать производную функции и выяснить, когда она положительна, отрицательна или равна нулю на заданном интервале.

Вычисление производной функции

Для начала найдем производную функции f(x) по переменной x. Производная функции показывает нам скорость изменения функции в каждой точке. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна, то функция убывает, и если равна нулю, то функция имеет экстремумы (максимумы или минимумы) в этих точках.

Для нахождения производной функции f(x), мы будем использовать правила дифференцирования. Возьмем производную каждого члена функции по отдельности.

f(x) = x³ - 3x

Производная первого члена (x³) равна 3x². Производная второго члена (-3x) равна -3.

Теперь у нас есть производная функции f(x):

f'(x) = 3x² - 3

Анализ производной

Теперь проанализируем производную функции f(x), чтобы определить, когда она положительна, отрицательна или равна нулю. Это поможет нам понять, когда функция возрастает, убывает или имеет экстремумы.

Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, решим уравнение:

3x² - 3 = 0

Вынесем общий множитель:

3(x² - 1) = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

x² - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 1 и x = -1.

Интервалы монотонности

Теперь мы знаем, что производная равна нулю в точках x = 1 и x = -1. Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить интервалы монотонности функции f(x).

| x | f'(x) | Монотонность f(x) | |:-----:|:-----:|:----------------:| | x < -1 | - | Убывает | | -1 < x < 1 | + | Возрастает | | x > 1 | + | Возрастает |

Из таблицы знаков мы видим, что функция f(x) убывает на интервале x < -1, возрастает на интервале -1 < x < 1 и также возрастает на интервале x > 1.

График функции

Также можно построить график функции f(x) для визуализации ее поведения.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Задаем интервал x
x = np.linspace(-2, 2, 100)

# Вычисляем значения функции f(x)
f = x**3 - 3*x

# Построение графика функции f(x)
plt.plot(x, f, label='f(x) = x³ - 3x')
plt.axhline(y=0, color='black', linewidth=0.5) # Ось x
plt.axvline(x=0, color='black', linewidth=0.5) # Ось y

# Подписи осей и заголовок
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('График функции f(x) = x³ - 3x')

# Отображение легенды
plt.legend()

# Отображение графика
plt.show()

График функции f(x) = x³ - 3x имеет вид "параболы" с вершиной в точке (0,0). На интервале x < -1 график функции убывает, на интервале -1 < x < 1 график функции возрастает и на интервале x > 1 также возрастает.

Это исследование позволяет нам понять монотонность функции f(x) = x³ - 3x и ее поведение на различных интервалах.