Question

Существует ли такое натуральное число, которое при делении на 8 даёт остаток 1, а при делении на 12 даёт остаток 3?

Answer 1

Х- искомое число
а и в- частные от делений на 8 и на 12 соответственно, могут быть только натуральными числами

(х-1)/8=а
х-1=8а
х=8а+1

(х-3)/12=в
х-3=12в
х=12в+3

8а+1=12в+3
8а-12в=3-1
8а-12в=2 разделим на 8
а-1,5в=0,25

никакое натуральное В при умножении на 1,5 не даст на конце 0,75, значит такого числа не существует.

Answer 2

Да, существует такое натуральное число. Для нахождения его, можно воспользоваться китайской теоремой об остатках.

Условие задачи означает, что искомое число \(x\) удовлетворяет следующей системе сравнений:

\[ \begin{cases} x \equiv 1 \pmod{8} \\ x \equiv 3 \pmod{12} \end{cases} \]

Сначала рассмотрим первое сравнение. Натуральные числа, удовлетворяющие \(x \equiv 1 \pmod{8}\), можно представить в виде \(x = 8k + 1\), где \(k\) — целое число (поскольку 1, 9, 17, и так далее — все они дают остаток 1 при делении на 8).

Теперь подставим это выражение во второе сравнение:

\[ 8k + 1 \equiv 3 \pmod{12} \]

Вычитаем 1 из обеих сторон:

\[ 8k \equiv 2 \pmod{12} \]

Теперь нужно найти такое значение \(k\), чтобы левая сторона была на 2 больше кратного 12 (так как 8k — это 8 умножить на \(k\)). Просто пробуем различные значения \(k\) и находим, что \(k = 2\) подходит. Таким образом, \(x = 8 \times 2 + 1 = 17\) удовлетворяет обоим условиям.

Итак, искомое натуральное число — 17.