Question

Найдите наибольшее значение выражения 7х-х^2-12

Answer 1

.....................

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения выражения \(7x - x^2 - 12\), давайте воспользуемся методом завершения квадрата. Выражение имеет вид:

\[f(x) = -x^2 + 7x - 12.\]

1. Находим вершину параболы:

Вершина параболы с координатами \((h, k)\) для уравнения вида \(ax^2 + bx + c\) выражается как \((h, k) = \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).

В данном случае \(a = -1\), \(b = 7\), и \(c = -12\). Таким образом, вершина параболы:

\[h = -\frac{7}{2 \times -1} = \frac{7}{2},\]

Подставляем \(h\) в уравнение \(f(x)\):

\[k = f\left(\frac{7}{2}\right) = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7 \times \frac{7}{2} - 12.\]

Вычисляем \(k\).

2. Находим максимальное значение функции:

Так как у нас открывающаяся вниз парабола, вершина соответствует максимальному значению функции. Таким образом, максимальное значение выражения \(7x - x^2 - 12\) равно \(k\), найденному на предыдущем шаге.

Подставим значения и произведем вычисления:

\[h = \frac{7}{2},\]

\[k = -\left(\frac{7}{2}\right)^2 + 7 \times \frac{7}{2} - 12.\]

\[k = -\frac{49}{4} + \frac{49}{2} - 12.\]

\[k = -\frac{49}{4} + \frac{98}{4} - \frac{48}{4}.\]

\[k = \frac{1}{4}.\]

Таким образом, наибольшее значение выражения \(7x - x^2 - 12\) равно \(\frac{1}{4}\), и достигается при \(x = \frac{7}{2}\).