Question

Найти производную y= ln (arcsin5x)

Answer 1

$y= ln (arcsin5x) \\\\ y'= \frac{5}{arcsin(5x)* \sqrt{1-25x^2} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = ln(arcsin(5x)), мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (chain rule). Давайте разложим эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную arcsin(5x). Функция arcsin(x) является обратной функцией синуса sin(x), поэтому мы можем записать ее как arcsin(x) = sin^(-1)(x). Обозначим arcsin(5x) как u. Тогда, u = sin^(-1)(5x). Чтобы найти производную u, мы можем использовать правило дифференцирования обратной функции.

Правило дифференцирования обратной функции: Если y = f^(-1)(x), то производная y'(x) можно найти как 1 / f'(y).

Давайте применим это правило к нашей функции u = sin^(-1)(5x).

Пусть f(x) = sin(x), тогда f^(-1)(x) = sin^(-1)(x). Тогда f'(x) = cos(x). Обратите внимание, что мы используем производную синуса. Итак, мы можем записать производную u'(x) как:

u'(x) = 1 / f'(u) = 1 / cos(u).

Шаг 2: Найдем производную ln(u). Теперь нам нужно найти производную функции y = ln(u). Мы можем использовать правило дифференцирования логарифма.

Правило дифференцирования логарифма: Если y = ln(x), то производная y'(x) равна 1 / x.

Применим это правило к нашей функции y = ln(u):

y'(x) = 1 / u' = 1 / (1 / cos(u)) = cos(u).

Шаг 3: Подставим нашу производную u' обратно в y'(x). Мы знаем, что u = sin^(-1)(5x), поэтому мы можем подставить это обратно в y'(x):

y'(x) = cos(u) = cos(sin^(-1)(5x)).

Итак, производная функции y = ln(arcsin(5x)) равна cos(sin^(-1)(5x)).

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять процесс нахождения производной этой функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!