Question

Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:

Answer 1

Ответ будет 2. Разделите числитель и знаменатель на х старшей степени

Answer 2

Конечно, я помогу! Предположим, у нас есть функция \(f(x)\) и \(g(x)\), обе непрерывные и дифференцируемые на интервале, и мы хотим найти предел выражения \(\frac{f(x)}{g(x)}\) при \(x\) стремящемся к какой-то точке \(c\).

Один из способов найти предел - это использовать алгебраические преобразования, факторизацию, рационализацию и другие методы, чтобы привести выражение к виду, в котором можно найти предел напрямую, не используя правило Лопиталя.

Например, если у нас есть выражение \(\frac{\sin(x)}{x}\) и мы хотим найти предел при \(x\) стремящемся к 0, то мы можем воспользоваться разложением \(\sin(x)\) в ряд Тейлора и сократить \(x\). Это позволит нам выразить выражение без использования правила Лопиталя:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{x} = \lim_{{x \to 0}} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \dots\right) = 1.\]

Это один из способов обойти использование правила Лопиталя для нахождения пределов.

Использование разложений в ряды Тейлора, замены переменных, алгебраических тождеств и других математических приемов может помочь найти пределы без применения правила Лопиталя в некоторых случаях.