Question

Вычисли скалярное произведение векторов. (Над каждой буквой стрелка векторов) 3a+b и a-b, eсли; a=(0;a) b=(2b;1)

Answer 1

Вектор 3a имеет координаты (0;3a). 3a+b координаты(2b;а+1), a-b координаты(-2b;a-1). Скалярное произведение равно: -4b^2+a^2-1

Answer 2

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\[ \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \]

где \(\mathbf{a} = (a_1, a_2)\) и \(\mathbf{b} = (b_1, b_2)\) - координаты векторов.

Дано: \[ \begin{align*} \mathbf{a} &= (0, a) \\ \mathbf{b} &= (2b, 1) \end{align*} \]

Теперь вычислим векторы \(3\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\):

\[ \begin{align*} 3\mathbf{a} + \mathbf{b} &= 3(0, a) + (2b, 1) \\ &= (0, 3a) + (2b, 1) \\ &= (2b, 3a + 1) \end{align*} \]

\[ \begin{align*} \mathbf{a} - \mathbf{b} &= (0, a) - (2b, 1) \\ &= (0 - 2b, a - 1) \\ &= (-2b, a - 1) \end{align*} \]

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

\[ \begin{align*} \mathbf{c} &= (2b, 3a + 1) \cdot (-2b, a - 1) \\ &= (2b \cdot -2b) + (3a + 1) \cdot (a - 1) \\ &= -4b^2 + (3a + 1)(a - 1) \\ &= -4b^2 + 3a^2 + 3a + a - 3 \\ &= -4b^2 + 3a^2 + 4a - 3 \end{align*} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(3\mathbf{a} + \mathbf{b}\) и \(\mathbf{a} - \mathbf{b}\) равно \(-4b^2 + 3a^2 + 4a - 3\).