Question

|x|-|x+2|=2 решить уравнение

Answer 1

Решим задачу с помощью геометрического определения модуля:
|a| - это расстояние от 0 (то есть от начала координат координатной прямой) до a (то есть до точки с координатой a)
|a-b| - это расстояние между a и b (то есть между точками с такими координатами.

Таким образом, надо решить задачу: при каких x расстояние от x до нуля на две единицы больше расстояния от x до -2. Ясно, что такого не может быть, когда x≥0, так как в этом случае x расположен к 0 ближе, чем к -2.
Ясно также, что такого не может быть, когда x∈(-2;0). В самом деле, расстояние между 0 и -2 равно 2, поэтому, когда мы находимся между этими точками, расстояние от x до каждой из них меньше 2, а тогда разность расстояний и подавно меньше 2.
Наконец, если мы находимся левее -2 (точнее, если x≤ -2), расстояние от x до 0 ровно на две единицы больше расстояния от x до -2, поэтому все такие x входят в ответ.

Ответ: (-∞; - 2]

Напоследок хочу сделать предсказание. Если Вы сумеете без ошибок привести это решение в классе, Вы прославитесь как самый сильный математик в Вашей школе. 

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение |x| - |x + 2| = 2 и попробуем его решить. Для удобства начнем с введения новой переменной, например, y = |x|.

Теперь у нас есть два случая:

1. Когда \(x \geq 0\), то \(|x| = x\). 2. Когда \(x < 0\), то \(|x| = -x\).

Таким образом, уравнение \(|x| - |x + 2| = 2\) можно переписать в виде двух уравнений:

1. Если \(x \geq 0\), то \(y - |x + 2| = 2\). 2. Если \(x < 0\), то \(-y - |x + 2| = 2\).

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1: \(x \geq 0\)

Подставим \(y = x\) в уравнение:

\[x - |x + 2| = 2\]

Теперь рассмотрим два варианта:

1.1 \(x + 2 \geq 0\)

Если \(x + 2 \geq 0\), то \(|x + 2| = x + 2\).

Тогда уравнение принимает вид:

\[x - (x + 2) = 2\]

Решим это уравнение:

\[x - x - 2 = 2\]

\[-2 = 2\]

Это уравнение не имеет решений в данном случае.

1.2 \(x + 2 < 0\)

Если \(x + 2 < 0\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\).

Тогда уравнение принимает вид:

\[x - (-(x + 2)) = 2\]

Решим это уравнение:

\[x + x + 2 = 2\]

\[2x + 2 = 2\]

\[2x = 0\]

\[x = 0\]

Случай 2: \(x < 0\)

Подставим \(y = -x\) в уравнение:

\[-x - |x + 2| = 2\]

Теперь рассмотрим два варианта:

2.1 \(x + 2 \geq 0\)

Если \(x + 2 \geq 0\), то \(|x + 2| = x + 2\).

Тогда уравнение принимает вид:

\[-x - (x + 2) = 2\]

Решим это уравнение:

\[-x - x - 2 = 2\]

\[-2x - 2 = 2\]

\[-2x = 4\]

\[x = -2\]

2.2 \(x + 2 < 0\)

Если \(x + 2 < 0\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\).

Тогда уравнение принимает вид:

\[-x - (-(x + 2)) = 2\]

Решим это уравнение:

\[-x + x + 2 = 2\]

\[2 = 2\]

Это уравнение верно для любых отрицательных значений x.

Итоговый ответ:

Таким образом, у уравнения \(|x| - |x + 2| = 2\) есть два решения: \(x = 0\) и \(x = -2\).