Question

Как решить log(1/2 снизу) (x^2-5x-6) > или = -3

Answer 1

1)ОДЗ
x^2-5x-6>0
D=25+24=49
x1=(5-7)/2 = -1
x2=(5+7)/2 = 6
То есть любые числа, кроме отрезка (-1;6)
2) По правилу занесем основание логарифма в степень
Не забываем, что основание <1, значит знак поменяется
x^2-5x-6<=(1/2)^-3
x^2-5x-6<=8
x^2-5x-14<=0
D=25+56=81
x1=(5-9)/2=-2
x2=(5+9)/2=7
То есть x∈[-2;7]
3)Ответ с учетом ОДЗ
x∈[-2;-1)∪(6;7]

Answer 2

Конечно, задача заключается в решении неравенства с логарифмом:

\(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) \geq -3\)

Для начала разберёмся с логарифмом. Логарифм по основанию \(\frac{1}{2}\) можно переписать в виде эквивалентного логарифма с основанием 2:

\(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) = \frac{\log_{2}(x^2 - 5x - 6)}{\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)}\)

Здесь \(\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)\) равно -1, так как \(2^{-1} = \frac{1}{2}\), следовательно:

\(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x - 6) = -\log_{2}(x^2 - 5x - 6)\)

Теперь у нас есть уравнение:

\(-\log_{2}(x^2 - 5x - 6) \geq -3\)

Для того чтобы избавиться от логарифма, возьмём обратную функцию от обеих сторон неравенства, используя основание логарифма (2) в качестве основания экспоненты:

\(2^{-\log_{2}(x^2 - 5x - 6)} \geq 2^{-3}\)

Теперь выражение слева будет равно \(x^2 - 5x - 6\), а справа \(2^{-3}\) равно \(\frac{1}{8}\):

\(x^2 - 5x - 6 \geq \frac{1}{8}\)

Перепишем это квадратное неравенство в стандартной форме, чтобы решить его:

\(x^2 - 5x - 6 - \frac{1}{8} \geq 0\)

Упростим:

\(x^2 - 5x - \frac{49}{8} \geq 0\)

Теперь найдём корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться методом дискриминанта или завершением квадрата:

\(x^2 - 5x - \frac{49}{8} = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{49}{4}\)

\(x - \frac{5}{2} - \frac{7}{2} \geq 0\) или \(x - \frac{5}{2} + \frac{7}{2} \geq 0\)

Итак, получаем два неравенства:

\(x \geq \frac{5}{2} + \frac{7}{2} = 6\) или \(x \leq \frac{5}{2} - \frac{7}{2} = -1\)

Таким образом, решение исходного неравенства \(x^2 - 5x - 6 \geq \frac{1}{8}\) будет \(x \leq -1\) или \(x \geq 6\).