Question

Вершины треугольника АВС имеют координаты : А(-1;2;3) В(1;0;4) С(3;-2;1). найдите длину средней треугольника,параллельной стороне АВ

Answer 1

Обозначим концы средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AB, за MN. При этом M - середина стороны AC, а N - середина стороны BC.
Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны треугольника, которой параллельна эта средняя линия.
Т.к. MN || AB, то |MN|=1/2|AB|.

AB²=(1-(-1))²+(0-2)²+(4-3)²=4+4+1=9=3²

Значит, длина стороны AB равна 3, а длина средней линии MN равна 3/2=1,5.


Это простое решение, в котором не нужны даже координаты точки C.
Можно решать сложно, определяя координаты точке M и N и вычисляя затем длину отрезка MN по координатам:

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Точка M (середина AC):
x=(-1+3)/2=1
y=(2+(-2))/2=0
z=(3+1)/2=2

M(1;0;2)

Точка N (середина BC):
x=(1+3)/2=2
y=(0+(-2))/2=-1
z=(4+1)/2=5/2

N(2;-1;5/2)

MN² = (2-1)²+(-1-0)²+((5/2)-2) = 1+1+1/4 = 9/4 = (3/2)²
|MN| = 3/2

Ответ, разумеется, такой же: длина MN равна 1,5.

Answer 2

Для нахождения длины средней линии треугольника, параллельной стороне AB, можно использовать формулу для нахождения координат точки, лежащей между двумя заданными точками в трехмерном пространстве.

Сначала найдем координаты точки, лежащей на отрезке AB. Формула для нахождения координат точки, делящей отрезок между двумя точками в отношении m:n, где m и n - это коэффициенты, выглядит следующим образом:

\[P(x, y, z) = \left(\frac{m \cdot x_2 + n \cdot x_1}{m + n}, \frac{m \cdot y_2 + n \cdot y_1}{m + n}, \frac{m \cdot z_2 + n \cdot z_1}{m + n}\right)\]

В данном случае, чтобы найти точку, лежащую на отрезке AB в отношении 1:1 (то есть середину отрезка), мы используем координаты точек A и B:

\[P(x, y, z) = \left(\frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)}{1 + 1}, \frac{1 \cdot 0 + 1 \cdot 2}{1 + 1}, \frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot 3}{1 + 1}\right)\]

Выполним вычисления:

\[P(x, y, z) = \left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}, \frac{7}{2}\right)\] \[P(x, y, z) = (0, 1, 3.5)\]

Теперь, имея координаты середины стороны AB, мы можем найти вектор, направленный параллельно этой стороне, вычитая координаты точки A из координат точки B:

\[\vec{AB} = (1 - (-1), 0 - 2, 4 - 3) = (2, -2, 1)\]

Теперь можем найти координаты конца средней линии, параллельной стороне AB, начинающейся из точки P(0, 1, 3.5) и направленной по вектору \(\vec{AB}\):

\[Q(x, y, z) = P + \vec{AB}\]

\[Q(x, y, z) = (0, 1, 3.5) + (2, -2, 1) = (0 + 2, 1 - 2, 3.5 + 1)\] \[Q(x, y, z) = (2, -1, 4.5)\]

Теперь у нас есть координаты двух точек, P(0, 1, 3.5) и Q(2, -1, 4.5). Мы можем найти длину средней линии, соединяющей эти точки, используя формулу для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставим координаты точек P и Q в формулу:

\[d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-1 - 1)^2 + (4.5 - 3.5)^2}\] \[d = \sqrt{4 + 4 + 1}\] \[d = \sqrt{9}\] \[d = 3\]

Таким образом, длина средней линии треугольника, параллельной стороне AB, равна 3 единицам длины.