Question

Даны векторы a={2;-1;1} и b={2;-3;6} Найти вектор единичной длины, перпендикулярный этим двум векторам.

Answer 1

В общем по-быстрому у меня получилось так.

Ищем вектор g c координатами (x, y, z).
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0. следовательно можно записать два уравнения:
$(a, g)=2 \cdot x-1 \cdot y+1 \cdot z=0 \\ (b, g)=2 \cdot x-3 \cdot y+6 \cdot z=0$  [1]

3-е уравнение составляем исходя из того, что модуль вектора g равен 0.
$\sqrt{ x^{2} + y^{2} + z^{2} } =1 \\ \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} =1$
[2]
Решаем систему. 
$2x-y+z=0 \\ 2x-3y+6z=0 \\ x^{2} +y^2+z^2=1$ [3]
Из 1-го и 2-го уравнений системы [3] можно выразить x через z и y через z.
$y=- \frac{5}{2}z \\ \\ x=- \frac{3}{4}z$
Подставим это в 3-е уравнение [3]
$(\frac{3}{4} z)^2 +(-\frac{5}{2} z)^2+z^2=1 \\ \\ \frac{9}{16} z^2 +\frac{25}{4} z^2+z^2=1 \\ \\ z^2( \frac{9+100+16}{16} )=1 \\ \\ z^{2} = \frac{16}{125 } \\ \\ z= \pm \frac{4}{5 \sqrt{5} }$
Далее находим x, y
$x= \frac{3}{4} z= \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{3}{5\sqrt{5}} \\ \\ y= -\frac{5}{2} z=-\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{5\sqrt{5}} =- \frac{2}{\sqrt{5}}$
Соответственно искомый вектор g имеет координаты
$g=( \frac{3}{5\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{4}{5\sqrt{5}} ) \\ \\ OR \\ \\ g=( -\frac{3}{5\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{4}{5\sqrt{5}} )$

Answer 2

Для нахождения вектора единичной длины, перпендикулярного данным двум векторам, мы можем воспользоваться процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Этот процесс позволяет нам построить новый вектор, который будет перпендикулярен обоим заданным векторам и иметь единичную длину.

Шаг 1: Нормализация векторов a и b Для начала нам необходимо нормализовать векторы a и b, чтобы они имели единичную длину. Для этого мы делим каждый вектор на его длину. Длина вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его компонент.

Для вектора a: Длина a = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(4 + 1 + 1) = sqrt(6)

Нормализованный вектор a: a_normalized = (2/sqrt(6), -1/sqrt(6), 1/sqrt(6))

Аналогично, для вектора b: Длина b = sqrt(2^2 + (-3)^2 + 6^2) = sqrt(4 + 9 + 36) = sqrt(49) = 7

Нормализованный вектор b: b_normalized = (2/7, -3/7, 6/7)

Шаг 2: Построение перпендикулярного вектора Теперь мы можем построить перпендикулярный вектор, используя ортогонализацию Грама-Шмидта. Этот процесс заключается в вычитании проекций векторов на предыдущие векторы из исходного вектора.

Пусть v будет перпендикулярным вектором, который мы ищем. Тогда мы можем выразить его как разность между исходным вектором и его проекциями на нормализованные векторы a_normalized и b_normalized:

v = a - (a_normalized * dot_product(a, a_normalized)) - (b_normalized * dot_product(b, b_normalized))

где dot_product(a, b) обозначает скалярное произведение между векторами a и b.

Вычислим проекции:

dot_product(a, a_normalized) = 2/sqrt(6) * 2 + -1/sqrt(6) * -1 + 1/sqrt(6) * 1 = 4/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1

dot_product(b, b_normalized) = 2/7 * 2 + -3/7 * -3 + 6/7 * 6 = 4/7 + 9/7 + 36/7 = 49/7 = 7

Теперь мы можем вычислить перпендикулярный вектор v:

v = a - (a_normalized * dot_product(a, a_normalized)) - (b_normalized * dot_product(b, b_normalized)) = (2, -1, 1) - ((2/sqrt(6), -1/sqrt(6), 1/sqrt(6)) * 1) - ((2/7, -3/7, 6/7) * 7) = (2, -1, 1) - (2/sqrt(6), -1/sqrt(6), 1/sqrt(6)) - (2, -3, 6) = (2 - 2/sqrt(6) - 2, -1 + 1/sqrt(6) + 3, 1 - 1/sqrt(6) - 6) = (-2/sqrt(6), 4/sqrt(6), -5/sqrt(6))

Шаг 3: Проверка единичной длины Для проверки, что полученный вектор v имеет единичную длину, мы вычисляем его длину и убеждаемся, что она равна 1:

Длина v = sqrt((-2/sqrt(6))^2 + (4/sqrt(6))^2 + (-5/sqrt(6))^2) = sqrt(4/6 + 16/6 + 25/6) = sqrt(45/6) = sqrt(7.5)

Чтобы привести вектор v к единичной длине, мы делим его на его длину:

Вектор единичной длины, перпендикулярный векторам a и b: v_normalized = (-2/sqrt(6) / sqrt(7.5), 4/sqrt(6) / sqrt(7.5), -5/sqrt(6) / sqrt(7.5))

Таким образом, вектор единичной длины, перпендикулярный векторам a и b, равен (-2/sqrt(6) / sqrt(7.5), 4/sqrt(6) / sqrt(7.5), -5/sqrt(6) / sqrt(7.5)).