Question

Найти производную функции Y=arcsin x *cos x

Answer 1

Y' = cos(x) / sqrt(1-x^2) - sin(x) × arcsin(x)

Answer 2

Для нахождения производной функции \(Y = \arcsin(x) \cdot \cos(x)\) воспользуемся правилом производной произведения.

Правило производной произведения функций \(u(x) \cdot v(x)\) выглядит следующим образом:

\[(u \cdot v)' = u'v + uv'\]

Где \(u\) и \(v\) - это функции от \(x\), а \(u'\) и \(v'\) - их производные.

Итак, раскроем произведение для нашей функции \(Y = \arcsin(x) \cdot \cos(x)\):

\[Y' = (\arcsin(x))' \cdot \cos(x) + \arcsin(x) \cdot (\cos(x))'\]

Теперь найдем производные каждого слагаемого:

1. \((\arcsin(x))'\): Производная арксинуса \(\arcsin(x)\) равна \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\).

2. \((\cos(x))'\): Производная косинуса \(\cos(x)\) равна \(-\sin(x)\).

Теперь подставим все в исходное выражение:

\[Y' = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin(x) \cdot \sin(x)\]

Таким образом, производная функции \(Y = \arcsin(x) \cdot \cos(x)\) равна:

\[Y' = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - x^2}} - \arcsin(x) \cdot \sin(x)\]