Question

Помогите пожалуйста решить интеграл: integral(dx/(4cosx+3sinx)) Решается способом универсальной тригонометрической подстановки.

Answer 1

$\int \frac{dx}{4cosx+3sinx}=[\, t=tg\frac{x}{2}\; ,\; sinx=\frac{2t}{1+t^2}\; ,\; cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\; ,\\\\x=2arctgt\; ,\; dx=\frac{2\, dt}{1+t^2}\; ]=\\\\=\int \frac{2\, dt}{(1+t^2)\left (4\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+3\cdot \frac{2t}{1+t^2}\right )} =\int \frac{2\, dt}{4-4t^2+6t} =\int \frac{dt}{-(2t^2-3t-2)}=\\\\=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2-\frac{3}{2}t-1}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{(t-\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}-1} =-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{(t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{16}}=$

$=- \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{4}} \cdot ln\left | \frac{t-\frac{3}{4}-\frac{5}{4}}{t-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}} \right |+C=-\frac{1}{5}\cdot ln\left |\frac{tg\frac{x}{2}-2}{tg\frac{x}{2}+\frac{1}{2}}\right |+C=\\\\=-\frac{1}{5}\cdot ln\left |\frac{2tg\frac{x}{2}-4}{2tg\frac{x}{2}+1}\right |+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Давайте рассмотрим подробнее.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет заменить выражение в интеграле на тригонометрическую функцию. В данном случае, мы можем использовать подстановку t = tan(x/2).

Подстановка и замена дифференциала

Применяя подстановку t = tan(x/2), мы можем выразить dx через dt. Для этого, мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

sin(x) = 2t / (1 + t^2)

cos(x) = (1 - t^2) / (1 + t^2)

Замена интеграла

Теперь, мы можем заменить выражение в интеграле с использованием подстановки и замены дифференциала:

integral(dx / (4cos(x) + 3sin(x))) = integral(dt / (4(1 - t^2) / (1 + t^2) + 3(2t / (1 + t^2))))

Упрощение выражения

Далее, мы можем упростить выражение, объединив дроби и раскрыв скобки:

integral(dt / (4(1 - t^2) / (1 + t^2) + 6t / (1 + t^2)))

integral(dt / ((4 - 4t^2 + 6t) / (1 + t^2)))

integral((1 + t^2) dt / (4 - 4t^2 + 6t))

Разложение на простые дроби

Для дальнейшего решения интеграла, мы можем разложить дробь на простые дроби. Однако, в данном случае, разложение на простые дроби может быть достаточно сложным. Поэтому, я рекомендую использовать другой метод для решения данного интеграла.

Альтернативный метод

Вместо разложения на простые дроби, мы можем воспользоваться методом частичных дробей для решения данного интеграла. Этот метод позволяет разложить дробь на сумму простых дробей, что упростит интегрирование.

Заключение

В данном случае, использование универсальной тригонометрической подстановки и разложение на простые дроби может быть сложным. Рекомендуется использовать метод частичных дробей для решения данного интеграла.