Question

Постройте геометрические образы уравнения 4х^2+y^2-10y+21=0 на плоскости и в пространстве.

Answer 1

4x^2+(y^2+10y+25)-4=0
4x^2+(y+5)^2=4

Для пространственного эллипса, строишь из плоскости прямую Z и вытягиваешь эллипс как на второй картинке 

Answer 2

Уравнение \(4x^2 + y^2 - 10y + 21 = 0\) представляет собой уравнение эллипса. Давайте разберемся, как построить его геометрические образы на плоскости и в трехмерном пространстве.

На плоскости:

Уравнение \(4x^2 + y^2 - 10y + 21 = 0\) можно преобразовать для получения уравнения эллипса в стандартной форме.

Сначала завершим квадрат для переменной \(y\):

\[ 4x^2 + y^2 - 10y + 21 = 0 \\ 4x^2 + (y^2 - 10y) + 21 = 0 \\ 4x^2 + (y^2 - 10y + 25 - 25) + 21 = 0 \\ 4x^2 + (y - 5)^2 - 25 + 21 = 0 \\ 4x^2 + (y - 5)^2 - 4 = 0 \\ 4x^2 + (y - 5)^2 = 4 \]

Теперь мы видим, что это уравнение эллипса в стандартной форме:

\(\frac{x^2}{1^2} + \frac{(y - 5)^2}{2^2} = 1\)

Это эллипс с центром в точке \((0, 5)\), большой полуосью вдоль оси \(y\) равной \(2\) и малой полуосью вдоль оси \(x\) равной \(1\).

В пространстве:

Уравнение \(4x^2 + y^2 - 10y + 21 = 0\) в пространстве представляет собой поверхность, поскольку содержит две переменные \(x\) и \(y\).

Для пространственной геометрии нужно добавить еще одну переменную. Допустим, у нас есть переменная \(z\), тогда уравнение будет выглядеть как:

\[4x^2 + y^2 - 10y + 21 = 0\]

Теперь для визуализации этой поверхности мы можем представить поверхность в трехмерном пространстве. Однако, так как у нас отсутствует переменная \(z\), это уравнение представляет собой некоторую форму эллипса на плоскости \(xy\).

Если бы мы добавили переменную \(z\) к уравнению, это привело бы к построению эллипсоида в трехмерном пространстве, что представляло бы трехмерную версию эллипса, расположенную вокруг оси \(z\).